2. Solutions
(ii) Im A. Si AB = I − P, ImA ⊇ ImAB = Im(I − P). D’après (1), Im(I − P)
est fermé et de codimension finie. Alors ImA est déduit de Im(I − P) en « ajoutant » un
sous-espace de dimension finie.
En effet si y 1 ∈ ImA \ Im(I − P), F 1 = Vect(y 1 ) ⊕ Im(I − P) ⊆ ImA. Comme Im(I − P) est
de codimension finie, on ne peut prolonger ImP qu’avec un nombre fini de vecteurs y j .
On obtient ImA = Im(I − P) ⊕ Vect(y 1 , . . . , y r ). C’est donc, par (P 1.2), un sous-espace
fermé de E comme somme directe d’un sous-espace fermé et d’un espace de dimension
finie.
Codim(ImA) = Codim(Im(I − P)) − r est finie.
(3) Utilisons les conclusions de (2).
Si ker A est de dimension finie, il admet dans E un supplémentaire topologique G (on
appelle en général un tel sous-espace un espace initial de A).
Si ImA est fermé de codimension finie, il admet un supplémentaire topologique H de
dimension finie.
On peut alors utiliser les deux décompositions en somme directe de E faites avec ces
sous-espaces. (E = H ⊕ ImA, w = u + v) ; notons P 1 : {E → E, w → u}.
P 1 est un opérateur borné de rang fini (dimension de ker A).
A 1 : {ImA → G, ∀x ∈ E, Ax → x} est une bijection entre espaces de Banach (l’hypothèse
que ImA est fermée est utilisée). Par le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16),
son inverse B 1 est donc continue.
Définissons B 1 par B 1 : {E → E, w = u + v → B 1 v}. Nous avons AB 1 w = A 1 B 1 (I − P 1 )w.
Ceci exprime que AB 1 = I − P 1 . De plus :
v = Ax = A 1 (I − Q 1 )x, donc B 1 Ax = B 1 A 1 (I − Q 1 )x = (I − Q 1 )x,
soit B 1 A = I − Q 1 . Le choix C 1 = B 1 répond à la question.
(4) ker A = Vect(e 1 , e 3 ) ; avec les notations de (3) on peut donc choisir G = Vect(e 2 ) ;
P 1 est le projecteur sur Vect(e 1 , e 3 ) de noyau Vect(e 2 ) défini par
P(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = x 1 e 1 + x 3 e 3 .
ImA = Vect(e 1 ). On choisit H = Vect(e 2 , e 3 ), alors Q 1 est le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 )
de noyau Vect(e 1 ).
B 1 est définie par B 1 (H) = {0}, B 1 (e 1 ) = e 2 . Les matrices de ces éléments, dans la base
(e 1 , e 2 , e 3 ) sont
(P 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 0
0 0 0
0 0 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ; (Q 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ; (B 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 0 0
1 0 0
0 0 0
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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(ii) Im A. Si AB = I − P, ImA ⊇ ImAB = Im(I − P). D’après (1), Im(I − P)
est fermé et de codimension finie. Alors ImA est déduit de Im(I − P) en « ajoutant » un
sous-espace de dimension finie.
En effet si y 1 ∈ ImA \ Im(I − P), F 1 = Vect(y 1 ) ⊕ Im(I − P) ⊆ ImA. Comme Im(I − P) est
de codimension finie, on ne peut prolonger ImP qu’avec un nombre fini de vecteurs y j .
On obtient ImA = Im(I − P) ⊕ Vect(y 1 , . . . , y r ). C’est donc, par (P 1.2), un sous-espace
fermé de E comme somme directe d’un sous-espace fermé et d’un espace de dimension
finie.
Codim(ImA) = Codim(Im(I − P)) − r est finie.
(3) Utilisons les conclusions de (2).
Si ker A est de dimension finie, il admet dans E un supplémentaire topologique G (on
appelle en général un tel sous-espace un espace initial de A).
Si ImA est fermé de codimension finie, il admet un supplémentaire topologique H de
dimension finie.
On peut alors utiliser les deux décompositions en somme directe de E faites avec ces
sous-espaces. (E = H ⊕ ImA, w = u + v) ; notons P 1 : {E → E, w → u}.
P 1 est un opérateur borné de rang fini (dimension de ker A).
A 1 : {ImA → G, ∀x ∈ E, Ax → x} est une bijection entre espaces de Banach (l’hypothèse
que ImA est fermée est utilisée). Par le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16),
son inverse B 1 est donc continue.
Définissons B 1 par B 1 : {E → E, w = u + v → B 1 v}. Nous avons AB 1 w = A 1 B 1 (I − P 1 )w.
Ceci exprime que AB 1 = I − P 1 . De plus :
v = Ax = A 1 (I − Q 1 )x, donc B 1 Ax = B 1 A 1 (I − Q 1 )x = (I − Q 1 )x,
soit B 1 A = I − Q 1 . Le choix C 1 = B 1 répond à la question.
(4) ker A = Vect(e 1 , e 3 ) ; avec les notations de (3) on peut donc choisir G = Vect(e 2 ) ;
P 1 est le projecteur sur Vect(e 1 , e 3 ) de noyau Vect(e 2 ) défini par
P(x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 ) = x 1 e 1 + x 3 e 3 .
ImA = Vect(e 1 ). On choisit H = Vect(e 2 , e 3 ), alors Q 1 est le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 )
de noyau Vect(e 1 ).
B 1 est définie par B 1 (H) = {0}, B 1 (e 1 ) = e 2 . Les matrices de ces éléments, dans la base
(e 1 , e 2 , e 3 ) sont
(P 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
1 0 0
0 0 0
0 0 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ; (Q 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ; (B 1 ) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 0 0
1 0 0
0 0 0
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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