Chapitre VII • Opérateurs compacts
La recherche d’un polynôme annulant A 0 va se ramener à une étude en dimension finie
en écrivant, conformément à (D 4.12) :
H = H 1 ⊕ H 2 , H 1 = Vect(e 0 , e 1 , e 2 ), H 2 = (H 1 )
⊥
, A 0 = B 0 ⊕ C 0 .
C 0 = 0, B 0 agit dans un espace de dimension 3 et admet un polynôme minimal P 0 de
degré au plus 3 ; les P cherchés sont les multiples de P 0 .
B 0 e 0 = 2e 2 ; B 0 e 1 = e 1 ; B 0 e 2 =
2
3 e 2 ; B 0 (
1
3 e 0 − e 2 ) = 0, B 0 admet donc 3 valeurs propres
distinctes : 0,
2
3
, 1. Son polynôme minimal est alors son polynôme caractéristique :
P 0 (X) = X(X − 1)
X −
2
3
.
Les polynômes P sont les multiples de P 0 .
Remarque : On peut noter dès maintenant la différence de traitement entre des opérateurs bornés de rang fini dans la structure espace de Banach (cf. Ex. VII.1) et dans
la structure espace de Hilbert ici rencontrée. La forme canonique est ici plus précise et
demande une étude détaillée de l’opérateur et de son adjoint.
Exercice VII.3
(1) (i) ker(I − P) = {x ∈ E tels que Px = x}. On a donc l’inclusion
ker(I − P) ⊆ ImP. Alors dim(ker(I − P)) ≤ dim(ImP) < ∞.
(ii) ker P est un sous-espace fermé de E.
Soit H un sous-espace de E, à intersection avec ker P réduite à {0} ; notons
P l’élément
de L(H, E) coïncidant avec P sur H. Il est injectif et son image
P(H) est incluse dans
celle de P ; elle est donc de dimension n au plus. Elle a même dimension que H, qui est
donc de dimension finie.
Il en résulte que ker P admet un supplémentaire algébrique G de dimension finie ; il est
alors un supplémentaire topologique d’après (P 1.2). Pour l’écriture x = y + z, y ∈ ker P,
z ∈ G, on a Px = Pz et ImP = P(G). On a donc
dim G = dim ImP = n.
(iii) Si x = y + z, y ∈ ker P, z ∈ G, on a x − Px = x − Pz = y + (z − Pz).
Lorsque x varie, y décrit ker P, z − Pz décrit un espace vectoriel de dimension au plus
égale à celle de G, donc finie, image de G par I − P.
Im(I − P) = Vect(ker P, (I − P)(G)). Soit X = ker P ∩ (I − P)(G) et Y un supplémentaire
de X dans (I − P)(G) ; nous avons Im(I − P) = ker P ⊕ Y d’après (P 1.8). Im(I − P)
est donc un sous-espace fermé de E, de dimension au plus celle d’un supplémentaire de
ker P, donc finie.
(2) (i) ker A. Si CA = I − Q, [Ax = 0] ⇒ [(I − Q)x = 0] ⇒ [x ∈ ImQ]. On a donc
ker A ⊆ ImQ. Comme Q est de rang fini, ker A est de dimension finie au plus égale au
rang de Q.
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La recherche d’un polynôme annulant A 0 va se ramener à une étude en dimension finie
en écrivant, conformément à (D 4.12) :
H = H 1 ⊕ H 2 , H 1 = Vect(e 0 , e 1 , e 2 ), H 2 = (H 1 )
⊥
, A 0 = B 0 ⊕ C 0 .
C 0 = 0, B 0 agit dans un espace de dimension 3 et admet un polynôme minimal P 0 de
degré au plus 3 ; les P cherchés sont les multiples de P 0 .
B 0 e 0 = 2e 2 ; B 0 e 1 = e 1 ; B 0 e 2 =
2
3 e 2 ; B 0 (
1
3 e 0 − e 2 ) = 0, B 0 admet donc 3 valeurs propres
distinctes : 0,
2
3
, 1. Son polynôme minimal est alors son polynôme caractéristique :
P 0 (X) = X(X − 1)
X −
2
3
.
Les polynômes P sont les multiples de P 0 .
Remarque : On peut noter dès maintenant la différence de traitement entre des opérateurs bornés de rang fini dans la structure espace de Banach (cf. Ex. VII.1) et dans
la structure espace de Hilbert ici rencontrée. La forme canonique est ici plus précise et
demande une étude détaillée de l’opérateur et de son adjoint.
Exercice VII.3
(1) (i) ker(I − P) = {x ∈ E tels que Px = x}. On a donc l’inclusion
ker(I − P) ⊆ ImP. Alors dim(ker(I − P)) ≤ dim(ImP) < ∞.
(ii) ker P est un sous-espace fermé de E.
Soit H un sous-espace de E, à intersection avec ker P réduite à {0} ; notons
P l’élément
de L(H, E) coïncidant avec P sur H. Il est injectif et son image
P(H) est incluse dans
celle de P ; elle est donc de dimension n au plus. Elle a même dimension que H, qui est
donc de dimension finie.
Il en résulte que ker P admet un supplémentaire algébrique G de dimension finie ; il est
alors un supplémentaire topologique d’après (P 1.2). Pour l’écriture x = y + z, y ∈ ker P,
z ∈ G, on a Px = Pz et ImP = P(G). On a donc
dim G = dim ImP = n.
(iii) Si x = y + z, y ∈ ker P, z ∈ G, on a x − Px = x − Pz = y + (z − Pz).
Lorsque x varie, y décrit ker P, z − Pz décrit un espace vectoriel de dimension au plus
égale à celle de G, donc finie, image de G par I − P.
Im(I − P) = Vect(ker P, (I − P)(G)). Soit X = ker P ∩ (I − P)(G) et Y un supplémentaire
de X dans (I − P)(G) ; nous avons Im(I − P) = ker P ⊕ Y d’après (P 1.8). Im(I − P)
est donc un sous-espace fermé de E, de dimension au plus celle d’un supplémentaire de
ker P, donc finie.
(2) (i) ker A. Si CA = I − Q, [Ax = 0] ⇒ [(I − Q)x = 0] ⇒ [x ∈ ImQ]. On a donc
ker A ⊆ ImQ. Comme Q est de rang fini, ker A est de dimension finie au plus égale au
rang de Q.
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