2. Solutions
On en déduit deux couples (valeur λ non nulle, vecteur propre normé), qui sont
λ 2 =
2
√
5
, f 2 = t 2
e 0 +
√
5e 2
,
λ 3 = −
2
√
5
, f 3 = t 3
e 0 −
√
5e 2
où t 2 , t 3 > 0 sont ajustées pour que les vecteurs soient normés, soit par un calcul simple :
t 2 =
1
4
3
−
√
5 + 3
1/2 , t 3 =
1
4
3
√
5 + 3
1/2 .
Ainsi, selon (P 6.2),
A 1 = f 1 ⊗ f 1 +
−2
√
5
+
2
3
f 2 ⊗ f 2 +
2
√
5
+
2
3
f 3 ⊗ f 3 .
(ii) r = 0.
D’après (VII.6), A 0 est un opérateur de rang au plus 2. L’écriture des A 0 e k , k = 0, 1, 2
confirmera qu’il est de rang 2. Il n’est pas auto-adjoint ; la détermination d’une écriture
canonique demande alors l’étude préalable de |A 0 | = (A
∗
0 A 0 )
1/2 pour obtenir l’écriture
polaire selon (D 6.9) et se ramener à la méthode employée dans le cas précédent.
D’après (VII.11), Im(A
∗
0 ) ⊆ Vect(e 0 , e 1 ). Comme ker(A
∗
0 A 0 ) = [Im(A
∗
0 A 0 )]
⊥ (P 6.3), il
suffit de déterminer les images de e 0 et e 1 .
A 0 e 0 = 2e 2 ; A 0 e 1 = e 1 ; A
∗
0 e 2 =
2
5
e 0 ; A
∗
0 e 1 = e 1
donc (A
∗
0 A 0 )e 0 =
4
5 e 0 = (
2
√
5
)
2 e 0 ; (A
∗
0 A 0 )e 1 = e 1 ,
D’où |A 0 | =
2
√
5
g 1 ⊗ g 1 + g 2 ⊗ g 2 où g 1 =
1
√
2
e 0 et g 2 =
3
2 e 1 .
Il reste à passer de |A 0 | à l’opérateur A 0 , donc à tenir compte de l’écriture polaire
A 0 = U|A 0 | (D 6.9).
A 0 e 0 = 2e 2 = U(|A 0 |e 0 ) = U
2
√
5
e 0
, donc Ue 0 =
√
5e 2 , Ug 1 =
5
2
e 2 .
A 0 e 1 = e 1 = U(|A 0 |e 1 ) = Ue 1 donc Ug 2 = g 2
et une écriture canonique de A 0 est :
A 0 =
2
√
5
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
5
2
e 2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⊗ g 1 + g 2 ⊗ g 2 =
√
2e 2 ⊗ g 1 + g 2 ⊗ g 2 .
(VII.14)
Alors (4), (VII.14) et les résultats précédents montrent que
A 0 e 0 = 2e 2 ; A 0 e 1 = e 1 ; A 0 e 2 =
2
3
e 2 . ker(A 0 ) = (Vect(e 0 , e 1 ))
⊥
.
(VII.15)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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