Chapitre VII • Opérateurs compacts
Remarque importante : Soit plus généralement A : H → H l’opérateur « associé au
noyau K » défini par la formule
A f (x) =
1
−1
K(x, t) f (t)dt,
où K : [−1, 1]
2
→ C est mesurable, bornée. Alors, A ∈ L(H) comme on le vérifie
facilement, et un calcul rigoureusement identique à celui fait dans le cas particulier de
l’exercice montre que l’adjoint A
∗ de A est représenté par le noyau L adjoint de K, c’està-dire qu’on a pour toute f ∈ H et tout x ∈ [−1, 1] :
A
∗ f (x) =
1
−1
L(x, t) f (t)dt avec L(x, t) = K(t, x).
(3) (i) r = 1.
D’après (VII.6), A 1 est un opérateur de rang au plus 3. On verra qu’il est de rang 3.
D’après (VII.11), A 1 est auto-adjoint. Son écriture canonique est alors de la forme
A 1 =
3
j=1 λ j f j ⊗ f j . Les (λ j , f j ) sont des couples (valeur propre non nulle, vecteur
propre normé) où les f j forment un système orthonormé et les λ j sont les valeurs propres
non nulles comptées avec leur multiplicité.
On cherche donc les valeurs propres non nulles et les espaces propres associés.
Si A 1 f = λ f, λ 0, alors f ∈ ImA 1 . Un calcul direct montre que
A 1 e 0 =
2
3
e 0 + 2e 2 , A 1 e 1 = e 1 , A 1 e 2 =
2
5
e 0 +
2
3
e 2 .
(VII.12)
e 1 est donc vecteur propre ; on note f 1 = e 1 ( e 1 )
−1
=
3
2
e 1 , et on voit que le couple
λ 1 = 1, f 1 =
3
2
e 1
(VII.13)
est un couple (valeur propre non nulle, vecteur propre normé).
Les autres vecteurs f j sont à chercher dans le supplémentaire orthogonal de Vect( f 1 ),
donc dans Vect(e 0 , e 2 ) pour j = 2, 3.
Cherchons des vecteurs propres sous la forme (e 0 + αe 2 ). Ceci fournit les égalités
A 1 −
2
3
I
(e 0 + αe 2 ) = 2e 2 +
2
5
αe 0 = λ(e 0 + αe 2 )
donc
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
λα = 2
5λ − 2α = 0
164
Remarque importante : Soit plus généralement A : H → H l’opérateur « associé au
noyau K » défini par la formule
A f (x) =
1
−1
K(x, t) f (t)dt,
où K : [−1, 1]
2
→ C est mesurable, bornée. Alors, A ∈ L(H) comme on le vérifie
facilement, et un calcul rigoureusement identique à celui fait dans le cas particulier de
l’exercice montre que l’adjoint A
∗ de A est représenté par le noyau L adjoint de K, c’està-dire qu’on a pour toute f ∈ H et tout x ∈ [−1, 1] :
A
∗ f (x) =
1
−1
L(x, t) f (t)dt avec L(x, t) = K(t, x).
(3) (i) r = 1.
D’après (VII.6), A 1 est un opérateur de rang au plus 3. On verra qu’il est de rang 3.
D’après (VII.11), A 1 est auto-adjoint. Son écriture canonique est alors de la forme
A 1 =
3
j=1 λ j f j ⊗ f j . Les (λ j , f j ) sont des couples (valeur propre non nulle, vecteur
propre normé) où les f j forment un système orthonormé et les λ j sont les valeurs propres
non nulles comptées avec leur multiplicité.
On cherche donc les valeurs propres non nulles et les espaces propres associés.
Si A 1 f = λ f, λ 0, alors f ∈ ImA 1 . Un calcul direct montre que
A 1 e 0 =
2
3
e 0 + 2e 2 , A 1 e 1 = e 1 , A 1 e 2 =
2
5
e 0 +
2
3
e 2 .
(VII.12)
e 1 est donc vecteur propre ; on note f 1 = e 1 ( e 1 )
−1
=
3
2
e 1 , et on voit que le couple
λ 1 = 1, f 1 =
3
2
e 1
(VII.13)
est un couple (valeur propre non nulle, vecteur propre normé).
Les autres vecteurs f j sont à chercher dans le supplémentaire orthogonal de Vect( f 1 ),
donc dans Vect(e 0 , e 2 ) pour j = 2, 3.
Cherchons des vecteurs propres sous la forme (e 0 + αe 2 ). Ceci fournit les égalités
A 1 −
2
3
I
(e 0 + αe 2 ) = 2e 2 +
2
5
αe 0 = λ(e 0 + αe 2 )
donc
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
λα = 2
5λ − 2α = 0
164