2. Solutions
Exercice VII.2
On a intérêt à détailler l’intégrale pour expliciter la forme de g.
+1
−1
(x
2
+
3
2 xu + ru
2 ) f (u)du = x
2
+1
−1
f (u)du +
3
2 x
+1
−1
u f (u)du + r
+1
−1
u
2 f (u)du.
Ceci fournit l’expression
A r f =
r
+1
−1
u
2 f (u)du
e 0 +
3
2
+1
−1
u f (u)du
e 1 +
+1
−1
f (u)du
e 2 .
(VII.6)
(1) A r f est un élément de Vect(e 0 , e 1 , e 2 ).
A r est trivialement linéaire. L’inégalité de Schwarz (P 5.4) appliquée à chaque intégrale
montre que
A r f ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |r|
2
5
1/2
e 0 +
3
2
e 1 + 2e 2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ f .
(VII.7)
L’application A r est donc continue et le facteur de f dans (VII.7) fournit un majorant
de la norme de A r . On a ainsi contrôlé que A r ∈ K 0 (H).
(2) L’adjoint A
∗
r de A r est déterminé par la formule de définition (D 6.1)
Pour tous f, h ∈ H, A r f, h = f, A
∗
r h,
(VII.8)
soit f, A
∗
r h =
+1
−1
+1
−1
(x
2
+
3
2
xu + ru
2 ) f (u)du
h(x)dx.
(VII.9)
La convergence absolue des intégrales permet d’échanger (théorème de Fubini) les
signes d’intégration pour faire apparaître l’écriture de A
∗
r . On obtient
f, A
∗
r h =
+1
−1
+1
−1
(x 2 +
3
2
xu + ru 2 )h(x)dx
f (u)du.
(VII.10)
(VII.10) montre que
A
∗
r h = k avec k(x) =
+1
−1
u
2
+
3
2
ux + rx
2
h(u)du.
(VII.11)
L’application adjointe est obtenue en permutant le rôle des variables dans l’application
initiale. A r est auto-adjoint si et seulement si on a :
Pour toute f ∈ H,
+1
−1
x
2
+
3
2
xu + ru
2
−
u
2
+
3
2
ux + rx
2
f (u)du = 0.
Le facteur de f dans l’intégrale est (1 − r)(x
2
− u
2 ). Faisant x = 1 et choisissant pour f
la fonction définie par f (u) = 1, on obtient la relation :
1
0
(1 − r)(1 − u
2 )du = 0, donc
r = 1. A 1 est ainsi l’unique opérateur auto-adjoint.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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