Chapitre VII • Opérateurs compacts
Vect(e 0 , e 1 ) est donc un supplémentaire topologique de ker A dans E (supplémentaire
algébrique de dimension finie, donc supplémentaire topologique d’après (P 1.1) et (P 1.2)
par exemple).
(4) On exposera d’abord le raisonnement pour g arbitraire, puis dans le cas particulier
proposé.
(i) g arbitraire.
D’après (3) (iii) on a E = ker A ⊕ ImA.
On note alors, pour f ∈ E arbitraire, f = f 1 + f 2 , où f 1 ∈ ker A, f 2 ∈ ImA.
A f − f = (− f 1 ) + (A f 2 − f 2 ) où le second membre est décomposé aussi sur ker A ⊕ ImA.
On peut ainsi résoudre A f − 2 f = g en décomposant de même g sur ker A et ImA selon
g = g 1 + g 2 . Ceci conduit à
f 1 = −g 1 , A f 2 − f 2 = g 2
La seconde équation est une équation linéaire dans G. Avec la notation B introduite
dans (3) (iii), elle s’écrit B f 2 − f 2 = g 2 .
Be 0 = 3e 0 + 2e 1 , Be 1 = 2e 0 + e 1 , donc (B − I)e 0 = 2e 0 + 2e 1 , (B − I)e 1 = 2e 0 . Il en résulte
que B − I est bijective ; alors pour chaque g 2 , f 2 existe et est unique.
(ii) g choisie.
Il reste à déterminer g 1 et g 2 , puis f 1 et f 2 .
g 2 = ae 0 + be 1 , où a, b sont choisis tels que
J 0 (g) =
1
0
2y
2 dy =
2
3
= J 0 (g 2 ) = a +
b
2
J 1 (g) =
1
0
2y
3 dy =
1
2
= J 1 (g 2 ) =
a
2
+
b
3
Ceci fournit g 2 = −
1
3
e 0 + 2e 1 .
f 2 est alors cherchée sous la forme f 2 = ce 0 + de 1 par l’équation
B f 2 − f 2 = −
1
3 e 0 + 2e 1 , soit encore
c(B − I)e 0 + d(B − I)e 1 = c(2e 0 + 2e 1 ) + d(2e 0 ) = (2c + 2d)e 0 + (2c)e 1 = −
1
3 e 0 + 2e 1
donc c = 1, d = −
7
6 et, comme f 1 = −g 1 = g 2 − g,
f = e 0 −
7
6
e 1 +
2e 1 −
1
3
e 0 − 2e 2
=
2
3
e 0 +
5
6
e 1 − 2e 2 .
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