Chapitre VII • Opérateurs compacts
Exercice VII.4
(1) Il suffit de prendre pour (x n ) une suite orthonormée. Car alors, le théorème de
Pythagore (P 5.1) donne
p q =⇒ ⇒x p − x q
2
= x p
2
+ x p
2
= 2.
(2) (i). Il suffit d’élever au carré l’inégalité α ≤ ≤y j −y k et de développer. Cela donne,
pour j < k :
α
2
≤ ≤y j
2
+ y k
2
− 2y j , y k ≤ 2 − 2y j , y k .
(∗)
(ii). On fait tendre k vers l’infini dans (*), à j fixé. Il vient
α
2
≤ 2 − 2y j , y puis α
2
≤ 2 − 2y
2
≤ 2,
en faisant tendre j vers+∞.
Exercice VII.5
(1) Si E est de dimension finie, nous avons K 0 (E) = L(E), donc I ∈ K 0 (E), et
d(I, K 0 (E)) = 0.
Si E est de dimension infinie, soit B ∈ K 0 (E) ; la dimension de ImB est finie, donc B
n’est pas injectif. Soit x ∈ ker B, x = 1. On a
(I − B)x = 1, donc I − B ≥ 1 et d(I, K 0 (E)) ≥ 1.
D’autre part, d(I, K 0 (E)) ≤ ≤I − 0 = 1, d’où d(I, K 0 (E)) = 1.
(2) On est dans le cas où d(I, K 0 (E)) = 1.
(i) Encadrement. L’inégalité de droite est triviale.
Si A est inversible, notons C = A
−1 , et remarquons que l’application
M A : {K 0 (E) → K 0 (E), B → AB} est une bijection (car ImAB ⊆ ImB). Ensuite, on a
pour tout B ∈ K 0 (E) :
I − B = CA − CAB ≤ ≤C A − AB.
En passant à l’inf sur B des deux côtés, on obtient donc via (1) et la remarque :
1 ≤ d(C, K 0 (E)) ≤ ≤C d(A, K 0 (E)) donc d(A, K 0 (E)) ≥ ≥A
−1
−1 ,
A
−1
−1
≤ d(I, K 0 (E)) ≤ ≤A.
(VII.16)
(ii) Encadrement optimal.
L’encadrement utilisé en (1) est tel que I
−1
= I = 1. Les deux membres extrêmes
de (∗) sont donc égaux. Donnons un exemple où ces deux membres sont distincts.
Pour A = I + e ⊗ e, soit E = G ⊕ H, G = Vect(e), H = G
⊥ .
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