1. Énoncés
(4) Soit (A n ) n≥1 une suite quelconque de L(H), et (K m ) m≥1 une suite dense de K(H).
(i) Montrer qu’il existe T ∈ L(H) tel que l’on ait
T − A n − K m ≥ 1 pour tous m, n ≥ 1.
(ii) Montrer que ce T vérifie :
T − A n − K ≥ 1 pour tout n ≥ 1 et pour tout K ∈ K(H).
Si π est la surjection canonique de L(H) sur le quotient C(H) = L(H)K(H), cela
revient exactement à dire que π(T )−π(A n ) ≥ 1 pour tout n, et donne la non-séparabilité
de C(H).
Exercice VII.25 : Opérateurs à noyau
Soit H = L
2 ([0, 1]) et T ∈ L(H) défini, pour f ∈ H et x ∈ [0, 1], par
(T f )(x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt
avec
K(x, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
t(x + 1) si 0 ≤ x ≤ t ≤ 1
x(t + 1) si 0 ≤ t ≤ x ≤ 1
(1) Montrer que T est un opérateur compact auto-adjoint et que les vecteurs propres
associés à des valeurs propres non nulles sont des fonctions continues.
(2) Déterminer tous les couples (valeur propre non nulle, espace propre) de T . En
déduire qu’un opérateur intégral à noyau K ≥ 0 n’est pas nécessairement un opérateur
positif (cf. D 8.2).
(3) Calculer
+∞
k=1
1
k 4 .
Exercice VII.26 : Bases perturbées
H est un espace de Hilbert séparable et (e n , n ∈ N
∗ ) est une base orthonormale de H.
On cherche à reconnaître quand un autre système orthonormal ( f n , n ∈ N
∗ ) est une base
orthonormale (bon) de H, et on se propose de montrer le résultat de perturbation suivant
∞
n=1
e n − f n
2
< ∞ =⇒ ( f n , n ∈ N
∗ ) est une bon de H.
(∗)
Pour ( f n , n ∈ N
∗ ) , système orthonormal donné vérifiant l’hypothèse de (∗), on note F
l’espace vectoriel fermé engendré par les f n , et G son orthogonal.
(1) Montrer qu’il existe U ∈ L(H) tel que
Ue n = f n pour tout n ∈ N
∗
.
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