Chapitre VII • Opérateurs compacts
Montrer alors que (D 6.1)
U
∗ f n = e n pour tout n ∈ N
∗ et U
∗ x = 0 si x ∈ G.
(2) Avec les notations de l’Ex. VII.19, montrer que T = U − I est un opérateur HilbertSchmidt, de norme Hilbert-Schmidt T
2
2 =
∞
n=1 e n − f n
2 .
(3) En utilisant les résultats de l’Ex. VII.19, montrer qu’en réalité G = {0} et que
( f n , n ∈ N
∗ ) est une base orthonormale de H.
Exercice VII.27 : Théorème de Feintuch
Soit H un Hilbert complexe, séparable, de dimension infinie muni d’une base orthonormée (e n ) n≥0 et de l’opérateur shift unilatéral associé :
S (e n ) = e n+1 , ∀n ∈ N,
dont l’adjoint S
∗ vérifie :
S
∗ (e n ) = e n−1 si n ≥ 1 et S
∗ (e 0 ) = 0.
Un opérateur T ∈ L(H) est appelé opérateur de Toeplitz (en abrégé est Toeplitz) si sa
matrice sur la base (e n ), t i, j = T e j , e i , vérifie la condition
t i+k, j+k = t i, j ∀i, j, k ∈ N.
(1) Montrer l’équivalence : (a) T est Toeplitz ; (b) S
∗ T S = T .
(2) Soit K ∈ K(H). Montrer que
lim
n→∞
S
∗n K = lim
n→∞
S
∗n KS
n
= 0.
(3) On dira que T ∈ L(H) est asymptotiquement Toeplitz s’il existe un opérateur
A ∈ L(H) tel que
lim
n→∞
S
∗n T S
n
− A = 0.
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
1. T est asymptotiquement Toeplitz ;
2. T = A + K avec A Toeplitz et K compact.
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