Chapitre VII • Opérateurs compacts
Montrer que
f ∈ M =⇒ sup
(x,y)∈J
|L x,y ( f )| < ∞.
(2) Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que :
Pour toute f ∈ M, pour tous x, y ∈ I, | f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|
α
f ∞ .
(3) (i) Montrer que la boule unité fermée B de M est compacte.
(ii) En déduire que la dimension de M est finie.
(4) On se propose de donner une preuve directe du résultat, à partir de la question (2).
(i) Soit N un entier assez grand pour que δ
de f
=
C
(2N) α < 1. Prouver l’inégalité :
Pour toute f ∈ M, f ∞ ≤
1
1 − δ
sup
0≤k≤N,k∈N
| f
k
N
|
.
(ii) Montrer que l’application f → ( f (0), f (
1
N ) . . . , f (
k
N ), . . . , f (1)) est une injection linéaire de M dans C
N+1 , et conclure.
Exercice VII.24 : Non-séparabilité de l’algèbre de Calkin
Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, (e n ) n≥1 une base orthonormale de H, L(H) l’algèbre des opérateurs bornés sur H, et K(H) la sous-algèbre des
opérateurs compacts, qui est comme on le sait un idéal bilatère fermé de L(H), et a
fortiori une sous-algèbre.
L’algèbre de Calkin C(H) est le quotient (selon D 10.2) de la première algèbre par la
seconde, munie de la norme-quotient. On se propose de montrer que K(H) est séparable
(i.e. contient une suite dense, cf. Ex. I.6), mais pas les deux autres.
(1) En utilisant la séparabilité de H, montrer que l’espace K 0 (H) des opérateurs de
rang fini est séparable.
(2) En utilisant la densité de K 0 (H) dans K(H) (résultat de cours), montrer que K(H)
est également séparable.
(3) Soit (A n ) n≥1 une suite quelconque de L(H).
(i) Montrer qu’on peut construire par récurrence une suite orthonormée (v n ) n≥1 de
vecteurs de H telle que :
Pour tout n ≥ 1, v n , A n e n = v n , v j = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 1.
(VII.4)
(ii) Montrer qu’il existe T ∈ L(H) tel que T e n = v n pour tout entier n ≥ 1, et que
cet opérateur vérifie T − A n ≥ 1 pour tout n ≥ 1. Ainsi, L(H) n’est pas séparable.
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Montrer que
f ∈ M =⇒ sup
(x,y)∈J
|L x,y ( f )| < ∞.
(2) Montrer qu’il existe une constante C > 0 telle que :
Pour toute f ∈ M, pour tous x, y ∈ I, | f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|
α
f ∞ .
(3) (i) Montrer que la boule unité fermée B de M est compacte.
(ii) En déduire que la dimension de M est finie.
(4) On se propose de donner une preuve directe du résultat, à partir de la question (2).
(i) Soit N un entier assez grand pour que δ
de f
=
C
(2N) α < 1. Prouver l’inégalité :
Pour toute f ∈ M, f ∞ ≤
1
1 − δ
sup
0≤k≤N,k∈N
| f
k
N
|
.
(ii) Montrer que l’application f → ( f (0), f (
1
N ) . . . , f (
k
N ), . . . , f (1)) est une injection linéaire de M dans C
N+1 , et conclure.
Exercice VII.24 : Non-séparabilité de l’algèbre de Calkin
Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, (e n ) n≥1 une base orthonormale de H, L(H) l’algèbre des opérateurs bornés sur H, et K(H) la sous-algèbre des
opérateurs compacts, qui est comme on le sait un idéal bilatère fermé de L(H), et a
fortiori une sous-algèbre.
L’algèbre de Calkin C(H) est le quotient (selon D 10.2) de la première algèbre par la
seconde, munie de la norme-quotient. On se propose de montrer que K(H) est séparable
(i.e. contient une suite dense, cf. Ex. I.6), mais pas les deux autres.
(1) En utilisant la séparabilité de H, montrer que l’espace K 0 (H) des opérateurs de
rang fini est séparable.
(2) En utilisant la densité de K 0 (H) dans K(H) (résultat de cours), montrer que K(H)
est également séparable.
(3) Soit (A n ) n≥1 une suite quelconque de L(H).
(i) Montrer qu’on peut construire par récurrence une suite orthonormée (v n ) n≥1 de
vecteurs de H telle que :
Pour tout n ≥ 1, v n , A n e n = v n , v j = 0 pour 1 ≤ j ≤ n − 1.
(VII.4)
(ii) Montrer qu’il existe T ∈ L(H) tel que T e n = v n pour tout entier n ≥ 1, et que
cet opérateur vérifie T − A n ≥ 1 pour tout n ≥ 1. Ainsi, L(H) n’est pas séparable.
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