1. Énoncés
La racine carrée de cette quantité s’appelle la « norme Hilbert-Schmidt » de T et se note
T 2 .
Exercice VII.20
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H).
(1) Montrer que si T est normal (D 6.3), alors
T x
2
≤ ≤T
2 x x pour tout x ∈ H.
(2) Montrer que si T est normal, alors T
2 compact (P 7.8) implique T compact. Idem
si d est entier ≥ 2 et T
d est compact .
Exercice VII.21
Soit H un espace de Hilbert complexe.
(1) Soit T ∈ L(H), normal et compact, tel que σ(T ) ⊆ R. Montrer que T est autoadjoint.
(2) Soit T ∈ L(H), normal et compact, tel que σ(T ) ⊆ R
+ . Montrer que T est positif.
Exercice VII.22
E est un espace de Banach.
(1) Soient A, B ∈ L(E) tels que AB = I. Montrer que l’on n’a pas toujours BA = I.
(2) Soit A ∈ L(E) tel que I − A est un opérateur compact. Montrer que
[∃B ∈ L(E) tel que AB = I] ⇔ [∃C ∈ L(E) tel que CA = I]
Exercice VII.23 : Version lipschtizienne du Théorème de Cayley
On considère l’espace E = C([0, 1]), avec sa norme usuelle
f ∞ = sup(| f (x)| ; x ∈ [0, 1]),
qui en fait un espace de Banach. Soit aussi α ∈]0, 1], et M un sous-espace fermé de E,
constitué de fonctions de Lip α (cf. Ex. I.6). Le but est de montrer que M est de dimension
finie.
(1) On note I = [0, 1] et J = {(x, y) ∈ I
2 ; x y}, et pour (x, y) ∈ J, on considère la
forme linéaire continue L x,y sur E définie par
L x,y ( f ) =
f (x) − f (y)
|x − y| α .
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