Chapitre VII • Opérateurs compacts
Exercice VII.17
E et F sont deux espaces de Banach de dimension infinie, et A ∈ K(E, F).
(1) Montrer l’existence d’un système normé (e n , n ∈ N
∗ ) dans E tel que :
pour tous entiers p, q, p q =⇒ ⇒e p − e q ≥ 1
( VII.1)
(agir par récurrence en associant à un sous-espace de dimension finie un vecteur normé
« orthogonal » en un sens à préciser).
(2) Montrer que l’opérateur identité dans E n’est pas un opérateur compact.
(3) Adapter au cas d’un espace de Banach la démarche de l’Ex. VII.14 ou l’Ex. VII.16
pour montrer que Im(A) (cf. D 2.3) ne contient aucun sous-espace fermé de dimension
infinie (cf. aussi Ex. IV.10 (3)).
Exercice VII.18
Soit E un espace de Banach, T ∈ L(E), et K ∈ K(E) un opérateur compact.
Soit λ 0 ∈ σ(T ) \ σ(T + K), notons S = (T + K − λ 0 I)
−1 .
(1) Montrer que
ker(T − λ 0 I) = ker(I − S K).
(VII.2)
(2) En déduire que λ 0 est une valeur propre de T .
(3) Montrer que
σ(T ) =
(σ(T + K) ; K ∈ K(E))
σ p (T )
( VII.3)
où σ p (T ) est l’ensemble des valeurs propres de T , spectre ponctuel de T .
Exercice VII.19 : Opérateurs Hilbert-Schmidt
H est un espace de Hilbert complexe séparable, (g n ) n∈N ∗ (resp.(e n ) n∈N ∗ ) une suite infinie
orthonormale (resp. une base orthonormale) de H et T ∈ L(H).
(1) Montrer que T ∈ K(H) =⇒ lim n→∞ T g n = 0 (cf. P 9.11).
(2) Montrer que
+∞
n=1 T e n
2
< ∞ =⇒ T ∈ K(H) (on dit alors que T est HilbertSchmidt).
(3) On garde l’hypothèse de (2). Soit ( f n , n ∈ N
∗ ) une autre base orthonormée de H.
En calculant de deux façons différentes la somme de la série double de nombres positifs
de terme général u m,n = ||T e n , f m |
2 , montrer l’identité
∞
n=1
T e n
2
=
∞
n=1
T f n
2
.
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Exercice VII.17
E et F sont deux espaces de Banach de dimension infinie, et A ∈ K(E, F).
(1) Montrer l’existence d’un système normé (e n , n ∈ N
∗ ) dans E tel que :
pour tous entiers p, q, p q =⇒ ⇒e p − e q ≥ 1
( VII.1)
(agir par récurrence en associant à un sous-espace de dimension finie un vecteur normé
« orthogonal » en un sens à préciser).
(2) Montrer que l’opérateur identité dans E n’est pas un opérateur compact.
(3) Adapter au cas d’un espace de Banach la démarche de l’Ex. VII.14 ou l’Ex. VII.16
pour montrer que Im(A) (cf. D 2.3) ne contient aucun sous-espace fermé de dimension
infinie (cf. aussi Ex. IV.10 (3)).
Exercice VII.18
Soit E un espace de Banach, T ∈ L(E), et K ∈ K(E) un opérateur compact.
Soit λ 0 ∈ σ(T ) \ σ(T + K), notons S = (T + K − λ 0 I)
−1 .
(1) Montrer que
ker(T − λ 0 I) = ker(I − S K).
(VII.2)
(2) En déduire que λ 0 est une valeur propre de T .
(3) Montrer que
σ(T ) =
(σ(T + K) ; K ∈ K(E))
σ p (T )
( VII.3)
où σ p (T ) est l’ensemble des valeurs propres de T , spectre ponctuel de T .
Exercice VII.19 : Opérateurs Hilbert-Schmidt
H est un espace de Hilbert complexe séparable, (g n ) n∈N ∗ (resp.(e n ) n∈N ∗ ) une suite infinie
orthonormale (resp. une base orthonormale) de H et T ∈ L(H).
(1) Montrer que T ∈ K(H) =⇒ lim n→∞ T g n = 0 (cf. P 9.11).
(2) Montrer que
+∞
n=1 T e n
2
< ∞ =⇒ T ∈ K(H) (on dit alors que T est HilbertSchmidt).
(3) On garde l’hypothèse de (2). Soit ( f n , n ∈ N
∗ ) une autre base orthonormée de H.
En calculant de deux façons différentes la somme de la série double de nombres positifs
de terme général u m,n = ||T e n , f m |
2 , montrer l’identité
∞
n=1
T e n
2
=
∞
n=1
T f n
2
.
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