1. Énoncés
Exercice VII.14
(1) E est un espace de Hilbert de dimension infinie, et I l’opérateur identité sur E.
Rappeler pourquoi I n’est pas un opérateur compact (utiliser par exemple un système
orthonormé).
(2) E et F sont des espaces de Hilbert de dimension infinie, et A ∈ K(E, F).
Utiliser la restriction B de A à (ker(A))
⊥ puis la restriction de B à la préimage par
A d’un sous-espace fermé de F pour montrer que Im(A) ne contient aucun sous-espace
fermé de dimension infinie.
Exercice VII.15
H est un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, et A ∈ L(H).
(1) Montrer que σ(A
2 ) = {λ
2 ; λ ∈ σ(A)}.
(2) On suppose que A
2 est compact et auto-adjoint.
(i) Montrer que A admet au moins une valeur propre.
(ii) Montrer que si A admet deux valeurs propres λ et μ telles que λ
2
μ
2 , alors
les espaces propres correspondants sont orthogonaux.
(iii) A est-il nécessairement compact ?
(3) On suppose que A est auto-adjoint et A
2 est compact.
(i) Si A
2
= 0, que peut-on dire de A ?
(ii) Si A
2
= I et H est de dimension finie (hypothèse provisoire), que peut-on dire
de A ?
(iii) Dans le cas général proposé au début de la question, montrer que A est compact.
Exercice VII.16
E, F sont deux espaces de Banach.
(1) A ∈ K(E, F).
Montrer que l’application quotient B : {E/ ker A → F, [x] → Ax} est un opérateur
compact (P 7.8).
(2) A ∈ L(E, F).
On suppose que l’application quotient associée {E/ ker A → F, [x] → Ax} est un
opérateur compact. A est-il compact ?
(3) B ∈ L(E), C ∈ L(F), soit A = B ⊕ C agissant dans E ⊕ F (D 1.12). Etablir
l’équivalence [B et C compacts] ⇔ [A compact ].
(4) A ∈ K(E), G est un sous-espace (fermé) invariant par A. On note D la restriction
de A à G, {G → G, y → Ay}. Montrer que D est un opérateur compact.
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