Chapitre VII • Opérateurs compacts
(2) Établir l’équivalence
[A ∈ K(E)] ⇔ [{Ae n , n ∈ N
∗
} est relativement compact ] (on cherchera à approcher A
par des opérateurs bornés de rang fini en pensant au théorème de Dini).
(3) F est l’espace c 0 des suites complexes convergentes vers 0 muni de la norme uniforme (voir l’Ex. I.1). Quel est le dual de F ? Comment peut-on caractériser les éléments
de K(F)? (on pourra interpréter le résultat par le comportement de la « matrice » de
A ∈ K(F)).
Exercice VII.11 : Opérateurs de composition
E est l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes, muni de la
norme uniforme. Soit h : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue.
A est défini sur E par A f (x) = f [h(x)] pour toute f ∈ E.
(1) Vérifier que A ∈ L(E) et déterminer sa norme.
(2) Comment doit être la fonction h pour que A soit un opérateur compact (distinguer le cas d’une fonction constante et d’une fonction non constante, dans ce second
cas on cherchera à construire une suite normée dont l’image n’admet pas de sous-suite
convergente) ?
Exercice VII.12
E est l’espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes, muni
de la norme uniforme.
Montrer que K(E) = K 0 (E) (on utilisera le théorème d’Ascoli-Arzela puis une partition de l’unité pour approcher un opérateur compact par un opérateur borné de rang
fini).
Exercice VII.13 : Injections compactes
Les deux questions sont indépendantes. Pour les deux on pourra utiliser le théorème
d’Ascoli-Arzela.
F = C([0, 1]), espace des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs complexes, muni de
la norme uniforme f ∞ .
E = C
1 ([0, 1]), espace des fonctions à valeurs complexes, continûment dérivables sur
[0, 1], muni de la norme f = f ∞ + f
∞ (cf. Ex. I.2).
Lip α est défini dans l’Ex. I.6.
(1) Montrer que l’injection canonique T : {E → F, f → f } est un opérateur compact.
(2) Montrer que l’injection canonique T : {Lip α → F, f → f } est un opérateur
compact.
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(2) Établir l’équivalence
[A ∈ K(E)] ⇔ [{Ae n , n ∈ N
∗
} est relativement compact ] (on cherchera à approcher A
par des opérateurs bornés de rang fini en pensant au théorème de Dini).
(3) F est l’espace c 0 des suites complexes convergentes vers 0 muni de la norme uniforme (voir l’Ex. I.1). Quel est le dual de F ? Comment peut-on caractériser les éléments
de K(F)? (on pourra interpréter le résultat par le comportement de la « matrice » de
A ∈ K(F)).
Exercice VII.11 : Opérateurs de composition
E est l’ensemble des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes, muni de la
norme uniforme. Soit h : [0, 1] → [0, 1] une fonction continue.
A est défini sur E par A f (x) = f [h(x)] pour toute f ∈ E.
(1) Vérifier que A ∈ L(E) et déterminer sa norme.
(2) Comment doit être la fonction h pour que A soit un opérateur compact (distinguer le cas d’une fonction constante et d’une fonction non constante, dans ce second
cas on cherchera à construire une suite normée dont l’image n’admet pas de sous-suite
convergente) ?
Exercice VII.12
E est l’espace de Banach des fonctions continues sur [0, 1] à valeurs complexes, muni
de la norme uniforme.
Montrer que K(E) = K 0 (E) (on utilisera le théorème d’Ascoli-Arzela puis une partition de l’unité pour approcher un opérateur compact par un opérateur borné de rang
fini).
Exercice VII.13 : Injections compactes
Les deux questions sont indépendantes. Pour les deux on pourra utiliser le théorème
d’Ascoli-Arzela.
F = C([0, 1]), espace des fonctions continues sur [0, 1], à valeurs complexes, muni de
la norme uniforme f ∞ .
E = C
1 ([0, 1]), espace des fonctions à valeurs complexes, continûment dérivables sur
[0, 1], muni de la norme f = f ∞ + f
∞ (cf. Ex. I.2).
Lip α est défini dans l’Ex. I.6.
(1) Montrer que l’injection canonique T : {E → F, f → f } est un opérateur compact.
(2) Montrer que l’injection canonique T : {Lip α → F, f → f } est un opérateur
compact.
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