1. Énoncés
(3) À quelle condition supplémentaire doivent satisfaire les a n pour qu’il existe C
opérateur linéaire continu (resp. compact) sur H tel que
Ce n = a n e n+1 pour tout n ∈ N
∗ ?
Exercice VII.7
Soit E un espace de Banach et x 0 ∈ E, f ∈ E
∗ avec f (x 0 ) = x 0 , f 0.
Soit T ∈ L(E) défini par T x = f (x)x 0 pour tout x ∈ E.
(1) Montrer que T est une projection si et seulement si f (x 0 ) = 1 (P 2.8).
(2) Déterminer σ(T ) et expliciter l’opérateur résolvant de T (D 10.4, D 10.5).
Exercice VII.8 : Norme d’un opérateur intégral
Soit E = C([0, 1]), espace de Banach des fonctions à valeurs complexes, continues sur
[0, 1], muni de la norme uniforme, f = sup{| f (x)| ; x ∈ [0, 1]}. Soit K : [0, 1]
2
→ C
une fonction continue et T : E → E, défini par
(T f )(x) =
1
0
K(x, t) f (t)dt.
(1) Montrer que T ∈ K(E) et montrer que sa norme vaut exactement
T = sup
0≤x≤1
1
0
|K(x, t)|dt.
(2) Déterminer T et σ(T ) lorsque K(x, t) = e
x+t .
Exercice VII.9
H est un espace de Hilbert complexe séparable de dimension infinie, muni d’une base
orthonormée (e n , n ∈ N
∗ ).
S est l’opérateur linéaire « défini » par S e n = e n+1 pour tout n ∈ N
∗ utilisé dans
l’Ex. III.5.
Montrer que S n’est pas un opérateur compact ( !) et surtout ne commute avec aucun
opérateur compact non nul (on pourra pour cela étudier la suite (Be n ) n∈N ∗ pour B compact
commutant avec S ).
Exercice VII.10 : Matrice d’un opérateur compact sur
1
E est l’espace de Banach
1 (D 1.15) muni de sa « base » canonique (e n , n ∈ N
∗ ).
A est une application linéaire « définie » sur
1 (ou une partie de
1 ) par la donnée des
Ae n : Ae n ∈
1 pour tout n ∈ N
∗ .
(1) Comment doivent être les Ae n pour que A soit un élément de L(E) ?
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