Chapitre VII • Opérateurs compacts
(2) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite de B et α > 0 tels que p q =⇒ ⇒x p − x q ≥ α. On rappelle
que (x n ) contient une sous-suite (x n j ) j∈N ∗
de f
= (y j ) qui converge faiblement vers y ∈ H
(cf. D 9.8).
(i) Montrer que j < k =⇒ α
2
≤ 2 − 2y j , y k .
(ii) Conclure que l’on a α ≤
√
2.
Exercice VII.5
E est un espace de Hilbert complexe, I est l’identité de L(E), K 0 (E) désigne l’ensemble
des opérateurs bornés de rang fini. Pour A ∈ L(E), on note la distance de A aux opérateurs de rang fini par d(A, K 0 (E)).
(1) Montrer que d(I, K 0 (E)) est égale à 0 ou 1.
(2) Si E est de dimension finie et si A est un élément inversible de L(E), montrer que
A
−1
−1
≤ d(A, K 0 (E)) ≤ ≤A.
(∗)
En utilisant par exemple A = I + e ⊗ e où e est un vecteur normé de E, montrer que l’inégalité de gauche ou celle de droite peut être une égalité même si les membres extrêmes
ne sont pas égaux.
(3) E est un espace de Hilbert séparable muni d’une base orthonormée {e n , n ∈ N
∗
}.
S est l’opérateur « défini » par S e n = e n+1 pour tout n ∈ N
∗ ; que vaut la distance
d(S , K 0 (E)) ?
(4) E est comme en (3). T est l’opérateur « défini » par
T e n =
1
n
e n+1 pour tout n ∈ N
∗
.
Montrer, en approchant T , que d(T, K 0 (E)) = 0.
Exercice VII.6
H est un espace de Hilbert complexe séparable, de dimension infinie, muni d’une base
orthonormale {e n , n ∈ N
∗
}.
(a n ) n∈N ∗ est une suite bornée de nombres complexes.
(1) Montrer qu’il existe un unique opérateur linéaire A continu sur H tel que
Ae n = a n e n pour tout n ∈ N
∗
.
Montrer qu’alors d(A, K(H)) = lim n→∞ |a n |. À quelle condition doivent satisfaire les a n
pour que A soit un opérateur compact ?
(2) À quelle condition supplémentaire doivent satisfaire les a n pour qu’il existe B
opérateur linéaire continu (resp. compact) sur H tel que
Be n = a n e 1 pour tout n ∈ N
∗ ?
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