1. Énoncés
(2) Expliciter l’adjoint de A r . Pour quelles valeurs de r a-t-on A r auto-adjoint ?
(3) Donner une écriture canonique de A 1 et A 0 comme dans l’Ex. VII.1.
(4) En se ramenant à une étude dans un espace de dimension 3, déterminer tous les
polynômes P tels que P(A 0 ) = 0.
Exercice VII.3
Dans (1), on se propose d’établir directement la propritété (P 7.14) dans le cas proposé
ici.
E est un espace de Banach complexe.
(1) Soit P ∈ K 0 (E) (cf. D 7.2) de rang n.
(i) Montrer que ker(I − P) est de dimension finie.
(ii) Montrer que ker P admet un supplémentaire topologique de dimension n.
(iii) Montrer, en utilisant par exemple une décomposition de E en somme directe
topologique à l’aide de ker P, que Im(I − P) est fermé et de codimension finie.
(2) Soit A ∈ L(E). On suppose qu’il existe P, Q ∈ K 0 (E) et B, C ∈ L(E) tels que
AB = I − P et CA = I − Q. Montrer que ker A est de dimension finie et que ImA est
fermé et de codimension finie.
(3) Soit A ∈ L(E) vérifiant les conclusions de (2). Montrer, en utilisant des décompositions adaptées de E, qu’il existe deux opérateurs idempotents P 1 , Q 1 ∈ K 0 (E), et deux
éléments B 1 , C 1 ∈ L(E) tels que AB 1 = I − P 1 et C 1 A = I − Q 1 .
(4) On suppose que E est un espace de Banach de dimension 3 muni d’une base
(e 1 , e 2 , e 3 ). On donne un élément A ∈ L(E) par sa matrice relativement à cette base
(A) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 1 0
0 0 0
0 0 0
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Déterminer des éléments P 1 , Q 1 , B 1 , C 1 associés selon (3).
Exercice VII.4 : Constante de Kottman
H est un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, et B est sa boule unité fermée.
(1) Montrer qu’il existe une suite infinie (x n ) n∈N ∗ de B telle que
p q =⇒ ⇒x p − x q ≥
√
2.
On se propose de montrer qu’on ne peut pas faire mieux (on dit que la constante de
Kottman de H vaut
√
2).
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(2) Expliciter l’adjoint de A r . Pour quelles valeurs de r a-t-on A r auto-adjoint ?
(3) Donner une écriture canonique de A 1 et A 0 comme dans l’Ex. VII.1.
(4) En se ramenant à une étude dans un espace de dimension 3, déterminer tous les
polynômes P tels que P(A 0 ) = 0.
Exercice VII.3
Dans (1), on se propose d’établir directement la propritété (P 7.14) dans le cas proposé
ici.
E est un espace de Banach complexe.
(1) Soit P ∈ K 0 (E) (cf. D 7.2) de rang n.
(i) Montrer que ker(I − P) est de dimension finie.
(ii) Montrer que ker P admet un supplémentaire topologique de dimension n.
(iii) Montrer, en utilisant par exemple une décomposition de E en somme directe
topologique à l’aide de ker P, que Im(I − P) est fermé et de codimension finie.
(2) Soit A ∈ L(E). On suppose qu’il existe P, Q ∈ K 0 (E) et B, C ∈ L(E) tels que
AB = I − P et CA = I − Q. Montrer que ker A est de dimension finie et que ImA est
fermé et de codimension finie.
(3) Soit A ∈ L(E) vérifiant les conclusions de (2). Montrer, en utilisant des décompositions adaptées de E, qu’il existe deux opérateurs idempotents P 1 , Q 1 ∈ K 0 (E), et deux
éléments B 1 , C 1 ∈ L(E) tels que AB 1 = I − P 1 et C 1 A = I − Q 1 .
(4) On suppose que E est un espace de Banach de dimension 3 muni d’une base
(e 1 , e 2 , e 3 ). On donne un élément A ∈ L(E) par sa matrice relativement à cette base
(A) =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 1 0
0 0 0
0 0 0
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Déterminer des éléments P 1 , Q 1 , B 1 , C 1 associés selon (3).
Exercice VII.4 : Constante de Kottman
H est un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, et B est sa boule unité fermée.
(1) Montrer qu’il existe une suite infinie (x n ) n∈N ∗ de B telle que
p q =⇒ ⇒x p − x q ≥
√
2.
On se propose de montrer qu’on ne peut pas faire mieux (on dit que la constante de
Kottman de H vaut
√
2).
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