VII
OPÉRATEURS
COMPACTS
1 ÉNONCÉS
Exercice VII.1
E est l’espace de Banach C([0, 1]) des fonctions continues à valeurs complexes sur [0, 1]
muni de la norme uniforme f = sup{| f (x)| ; x ∈ [0, 1]}. On note E
∗ son dual, et A :
E → E l’application définie par
(A f )(x) =
1
0
(2x + 6y) f (y)dy
On note J 0 : {E → C, f →
1
0
f (y)dy} et J 1 : {E → C, f →
1
0
y f (y)dy}.
(1) Montrer que J 0 , J 1 ∈ E
∗ .
(2) Montrer que A ∈ L(E). Trouver une écriture canonique de A à l’aide de
J 0 , J 1 , e 0 , e 1 , où e p (x) = x
p
, e p ∈ E et p ∈ N (cf. D 7.3).
(3) Quels sont les espaces ker(A) et Im(A) ? Que vaut la norme de A ? Montrer que
E = ker(A) ⊕ Im(A).
(4) En utilisant une décomposition de E déduite de (3), expliciter les solutions de
A f − f = g, où g(x) = 2x
2 .
Exercice VII.2
H est l’espace de Hilbert complexe L
2 ([−1, 1], dx).
Pour r ∈ R fixé, on note
A r : {H → H, f → g, g(x) =
+1
−1
x
2
+
3
2
xu + ru
2
f (u)du}
(1) Montrer que A r ∈ K 0 (H) (cf. D 7.2).
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