2. Solutions
D’où T = VT
∗ W et ker(T ) = ker(T
∗ W). Par (1), dim ker(T ) = dim ker(T
∗ ). (Rappelons que la dimension d’un espace de Hilbert est la cardinalité commune de ses bases
orthonormées.)
2 =⇒ 1. Puisque dim ker(T ) = dim ker(T
∗ ), la décomposition polaire maximale
est donnée par T = UP, avec U unitaire et P =
√
T ∗ T positif (voir l’Ex. VI. 13 (5)). Le
fait que T est une contraction implique que P en est aussi une. Donc I − P
2 est positif.
Posons W 1 = P + i
√
I − P 2 et W 2 = P − i
√
I − P 2 . Alors, W 1 et W 2 sont unitaires et on a
P =
1
2 (W 1 + W 2 ). On obtient finalement que UW 1 et UW 2 sont unitaires et que
T =
1
2
(UW 1 + UW 2 ).
(3) 1 =⇒ 2. Facile à vérifier.
2 =⇒ 1. Si T est normal, on a T x = T
∗ x pour tout x ∈ H. D’où
ker(T ) = ker(T
∗ ), et dim ker(T ) = dim ker(T
∗ ). La décomposition polaire maximale est alors donnée par T = UP, avec U unitaire et P =
√
T ∗ T positif (cf.
Ex. VI.13 (5)). En écrivant que T T
∗
= T
∗ T , on obtient UP
2 U
∗
= P
2 et donc
UP
2
= P
2 U. Puisque P =
√
P 2 , la racine carrée positive de P
2 , est une limite de polynômes en P
2 (cf. Ex. VI.8), U commute avec P. Puisque T est une contraction et que
dim ker(T ) = dim ker(T
∗ ), par (2) on a
T =
1
2
(UW 1 + UW 2 ) avec W 1 = P + i
√
I − P 2 et W 2 = P − i
√
I − P 2 .
Comme on vient de voir que U commute avec P, U commute avec W 1 et W 2 et 1. est
démontré.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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