Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
(4) Un des λ j , par exemple λ 1 , est ≥
1
n . Nous avons donc en utilisant l’Ex. V.6 :
T −
n
j=1
λ j U j ≥ ≥T − λ 1 U 1 −
n
j=2
λ j U j = 1 + λ 1 −
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n
j=2
λ j
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= (1 + λ 1 ) − (1 − λ 1 ) = 2λ 1 ≥
2
n
.
Ceci montre, d’une façon quantitative, que l’isométrie T n’est pas dans l’enveloppe
convexe des opérateurs unitaires (ce qu’on sait déjà puisqu’elle est extrémale !), même
si (théorème de Russo-Dye) B est l’enveloppe convexe fermée (en norme-opérateur) de
ces opérateurs unitaires.
Exercice VI.16
(1) (i) Puisque T 1 =
1
2 (T + T
∗ ) et T 2 =
1
2i (T − T
∗ ), on voit facilement que T 1 et T 2
sont des contractions.
(ii) Il est commode d’utiliser la relation d’ordre entre opérateurs auto-adjoints
de l’Ex. VI.7. On a clairement, puisque T 2 est une contraction auto-adjointe :
T
2
2 x, x = T 2 x
2
≤ ≤x
2 , soit (fait utilisé implicitement dans l’Ex. VI.15) :
0 ≤ T
2
2 ≤ I, d’où 0 ≤ I − T
2
2 ≤ I et
I − T
2
2 ≤ I.
L’opérateur
I − T
2
2 est ainsi une contraction. Maintenant, A est aussi une contraction,
comme demi-somme de deux contractions.
(2) Clairement, A = A
∗ et par (1) (ii), c’est une contraction. Et on a déjà vu dans
l’Ex. VI.15 (2) que U = A ± i
√
I − A 2 est unitaire.
Si maintenant T = U + U
∗
+ W (on n’a pas le choix pour W !), alors
W = T − (U + U
∗ ) = T 1 + iT 2 − 2A = T 1 + iT 2 −
T 1 −
I − T
2
2
= i
T 2 − i
I − T
2
2
et là aussi on a vu dans l’Ex. VI.15 que ce W est unitaire, ce qui achève l’exercice.
Exercice VI.17
(1) Il suffit de remarquer que x ∈ ker(T ) si et seulement si S
−1 x ∈ ker(T S ),
et que S
−1 : ker(T ) → ker(T S ) est une bijection. Par conséquent, on a bien
dim ker(T ) = dim ker(T S ).
(2) 1 =⇒ 2. Supposons que T =
1
2
(V + W), avec V, W unitaires. Il est clair que T est
une contraction et on a
T =
1
2
(V + W) =
1
2
V(V
∗
+ W
∗ )W = VT
∗ W.
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(4) Un des λ j , par exemple λ 1 , est ≥
1
n . Nous avons donc en utilisant l’Ex. V.6 :
T −
n
j=1
λ j U j ≥ ≥T − λ 1 U 1 −
n
j=2
λ j U j = 1 + λ 1 −
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
n
j=2
λ j
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
= (1 + λ 1 ) − (1 − λ 1 ) = 2λ 1 ≥
2
n
.
Ceci montre, d’une façon quantitative, que l’isométrie T n’est pas dans l’enveloppe
convexe des opérateurs unitaires (ce qu’on sait déjà puisqu’elle est extrémale !), même
si (théorème de Russo-Dye) B est l’enveloppe convexe fermée (en norme-opérateur) de
ces opérateurs unitaires.
Exercice VI.16
(1) (i) Puisque T 1 =
1
2 (T + T
∗ ) et T 2 =
1
2i (T − T
∗ ), on voit facilement que T 1 et T 2
sont des contractions.
(ii) Il est commode d’utiliser la relation d’ordre entre opérateurs auto-adjoints
de l’Ex. VI.7. On a clairement, puisque T 2 est une contraction auto-adjointe :
T
2
2 x, x = T 2 x
2
≤ ≤x
2 , soit (fait utilisé implicitement dans l’Ex. VI.15) :
0 ≤ T
2
2 ≤ I, d’où 0 ≤ I − T
2
2 ≤ I et
I − T
2
2 ≤ I.
L’opérateur
I − T
2
2 est ainsi une contraction. Maintenant, A est aussi une contraction,
comme demi-somme de deux contractions.
(2) Clairement, A = A
∗ et par (1) (ii), c’est une contraction. Et on a déjà vu dans
l’Ex. VI.15 (2) que U = A ± i
√
I − A 2 est unitaire.
Si maintenant T = U + U
∗
+ W (on n’a pas le choix pour W !), alors
W = T − (U + U
∗ ) = T 1 + iT 2 − 2A = T 1 + iT 2 −
T 1 −
I − T
2
2
= i
T 2 − i
I − T
2
2
et là aussi on a vu dans l’Ex. VI.15 que ce W est unitaire, ce qui achève l’exercice.
Exercice VI.17
(1) Il suffit de remarquer que x ∈ ker(T ) si et seulement si S
−1 x ∈ ker(T S ),
et que S
−1 : ker(T ) → ker(T S ) est une bijection. Par conséquent, on a bien
dim ker(T ) = dim ker(T S ).
(2) 1 =⇒ 2. Supposons que T =
1
2
(V + W), avec V, W unitaires. Il est clair que T est
une contraction et on a
T =
1
2
(V + W) =
1
2
V(V
∗
+ W
∗ )W = VT
∗ W.
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