2. Solutions
T x = (λ 1 x 1 , . . . , λ p x p ). Un des λ i peut être nul, mais ils sont tous distincts. Soit F x
le sous-espace invariant par T engendré par x, espace vectoriel formé par les polynômes
en T agissant sur x. C’est le plus petit sous-espace de H invariant par T et contenant x.
Pour chaque j ∈ {1, . . . , p}, on voit que
i j
(T − λ i )x = (0, 0, . . . ,
i j
(λ j − λ i )x j , 0, . . . , 0)
admet une seule composante non nulle dans l’écriture adoptée et x j ∈ F x .
Il en résulte que F x = Vect((0, 0, . . . , x j , 0, . . . , 0), j = 1, . . . , p). C’est un sous-espace
orthogonalement réduisant pour T .
(iii) Étude d’un sous-espace invariant arbitraire.
Tout sous-espace invariant F peut être obtenu comme somme directe orthogonale de
sous-espaces F x . En effet, soit x un premier vecteur utilisé ; si F x ne remplit pas F, on
utilise un y non nul de F orthogonal à F x . Ce procédé peut s’itérer ; F est somme directe
orthogonale d’un ou plusieurs F x . Il est donc toujours orthogonalement réduisant pour T .
(3) H et S sont choisis : H espace de Hilbert de dimension infinie, muni d’une base
orthonormale (e n ) n∈Z , et S (un shift bilatéral sur H) est donné par :
∀p ∈ Z, S e p = e p+1 .
On remarque que S est unitaire, car il transforme la base orthonormale (e p ) en la base
orthonormale (e p+1 ) = (e p ). A fortiori, il est normal.
On cherche maintenant un sous-espace invariant par S qui ne soit pas orthogonalement
réduisant.
Par ce qui précède, ce sous-espace ne peut pas être de dimension finie. Par contre, on a
en évidence des sous-espaces invariants de dimension infinie, à savoir les sous-espaces
fermés H n , n ∈ Z engendrés par les e p tels que p ≥ n. Soit
G n = (H n )
⊥
= Vect(e j ; j < n).
H n est, de manière évidente, invariant par S . Mais S (e n−1 ) = e n G n , donc G n n’est pas
invariant par S .
Exercice VI.11
(1) Soit T 0 : ker(T )
⊥
→ H défini par T 0 x = T x si x ∈ ker(T )
⊥ .
Puisque T 0 x = x, T 0 est injectif à image fermée (cf. Ex. IV.9). Or, Im(T ) = Im(T 0 ),
l’image de T est donc fermée.
(2) (a) ⇐⇒ (d). Soit P la projection orthogonale sur ker(T )
⊥ suivant la décomposition H = ker(T )
⊥
⊕ ker(T ). Si x ∈ ker(T )
⊥ , alors Px = x et on a
T
∗ T x, x = T x, T x = T x
2
= x
2
= x, x = Px, x.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
143
T x = (λ 1 x 1 , . . . , λ p x p ). Un des λ i peut être nul, mais ils sont tous distincts. Soit F x
le sous-espace invariant par T engendré par x, espace vectoriel formé par les polynômes
en T agissant sur x. C’est le plus petit sous-espace de H invariant par T et contenant x.
Pour chaque j ∈ {1, . . . , p}, on voit que
i j
(T − λ i )x = (0, 0, . . . ,
i j
(λ j − λ i )x j , 0, . . . , 0)
admet une seule composante non nulle dans l’écriture adoptée et x j ∈ F x .
Il en résulte que F x = Vect((0, 0, . . . , x j , 0, . . . , 0), j = 1, . . . , p). C’est un sous-espace
orthogonalement réduisant pour T .
(iii) Étude d’un sous-espace invariant arbitraire.
Tout sous-espace invariant F peut être obtenu comme somme directe orthogonale de
sous-espaces F x . En effet, soit x un premier vecteur utilisé ; si F x ne remplit pas F, on
utilise un y non nul de F orthogonal à F x . Ce procédé peut s’itérer ; F est somme directe
orthogonale d’un ou plusieurs F x . Il est donc toujours orthogonalement réduisant pour T .
(3) H et S sont choisis : H espace de Hilbert de dimension infinie, muni d’une base
orthonormale (e n ) n∈Z , et S (un shift bilatéral sur H) est donné par :
∀p ∈ Z, S e p = e p+1 .
On remarque que S est unitaire, car il transforme la base orthonormale (e p ) en la base
orthonormale (e p+1 ) = (e p ). A fortiori, il est normal.
On cherche maintenant un sous-espace invariant par S qui ne soit pas orthogonalement
réduisant.
Par ce qui précède, ce sous-espace ne peut pas être de dimension finie. Par contre, on a
en évidence des sous-espaces invariants de dimension infinie, à savoir les sous-espaces
fermés H n , n ∈ Z engendrés par les e p tels que p ≥ n. Soit
G n = (H n )
⊥
= Vect(e j ; j < n).
H n est, de manière évidente, invariant par S . Mais S (e n−1 ) = e n G n , donc G n n’est pas
invariant par S .
Exercice VI.11
(1) Soit T 0 : ker(T )
⊥
→ H défini par T 0 x = T x si x ∈ ker(T )
⊥ .
Puisque T 0 x = x, T 0 est injectif à image fermée (cf. Ex. IV.9). Or, Im(T ) = Im(T 0 ),
l’image de T est donc fermée.
(2) (a) ⇐⇒ (d). Soit P la projection orthogonale sur ker(T )
⊥ suivant la décomposition H = ker(T )
⊥
⊕ ker(T ). Si x ∈ ker(T )
⊥ , alors Px = x et on a
T
∗ T x, x = T x, T x = T x
2
= x
2
= x, x = Px, x.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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