Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Si x ∈ ker(T ), alors Px = 0 et on a
T
∗ T x, x = 0 = Px, x.
Donc pour tout x ∈ H, T
∗ T x, x = Px, x, soit encore
(T
∗ T − P)x, x = 0, ce qui entraîne que T
∗ T = P et que T
∗ T est une projection.
Pour la réciproque, on remarque d’abord que
ker(A
∗ A) = ker(A) pour tout A ∈ L(H).
Supposons que T
∗ T est une projection orthogonale. Alors Im(T
∗ T ) est fermée et de plus
Im(T
∗ T ) = ker(T
∗ T )
⊥
= ker(T )
⊥
.
Si donc x ∈ ker(T )
⊥
= Im(T
∗ T ), on a T
∗ T x = x, et T
∗ T x, x = x, x ou encore
T x = x, ce qui montre que T est une isométrie partielle.
(b) ⇐⇒ (d). Si T T
∗ T = T , en multipliant par T
∗ à gauche, on obtient (d).
Réciproquement, supposons que (T
∗ T )
2
= T
∗ T et montrons alors que S = T T
∗ T −T = 0.
En effet, on vérifie facilement que S
∗ S = 0 et donc S
2
= S
∗ S = 0. Ceci implique
S = 0 et T T
∗ T = T .
(c) ⇐⇒ (b). Si on remplace T par T
∗ , dans « (b) ⇐⇒ (d) », on obtient que
(T T
∗ )
2
= T T
∗
⇐⇒ T
∗ T T
∗
= T
∗
⇐⇒ T T
∗ T = T .
Exercice VI.12
Si T = 0, il n’y a rien à démontrer. Supposons que T 0 et donc S 0.
Pour l’implication (a) ⇒ (b), il suffit de prendre S = T
∗ .
Il reste à montrer que (b) ⇒ (a). Remarquons d’abord que T = S = 1. En effet
S = S T S ≤ ≤T S ≤ ≤S T ,
d’où 1 ≤ ≤T et comme T est une contraction, T = 1. Par le même argument, vu la
symétrie des rôles de T et S , on obtient que S = 1.
Maintenant, pour x ∈ H, nous avons S x = S T S x ≤ ≤T S x ≤ ≤S x. Donc
∀x ∈ H, T S x = S x.
Il en résulte que
∀x ∈ H, (I − T
∗ T )S x, S x = S x
2
− −T S x
2
= 0.
Puisque T est une contraction l’opérateur I − T
∗ T est positif. Soit (I − T
∗ T )
1
2 sa racine
carrée positive (cf. Ex. IV.8). Alors pour tout x ∈ H,
(I − T
∗ T )
1
2 S x
2
= (I − T
∗ T )S x, S x = 0.
Par conséquent, (I − T
∗ T )
1
2 S = 0 et donc (I − T
∗ T )S = 0, ou encore S = T
∗ T S .
Finalement, on a T = T S T = T T
∗ T S T = T T
∗ T , et l’Ex. IV.11 permet de conclure que
T est une isométrie partielle.
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