Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Exercice VI.9
(1) Il est clair que F ⊆ {x ∈ H ; (A
n x) n est bornée}.
Montrons l’autre inclusion. Soit x F : alors il existe a > 1 et m ∈ N
∗ tels que
A
m x > ax. Par suite,
a
2
x
2
< A
m x
2
≤ ≤(A
m )
∗ A
m x x = A
2m x x.
D’où, par récurrence, l’inégalité : pour tout n ≥ 1, A
2
n m x > a
2
n x.
Ceci montre que que la suite (A
n x) n n’est pas bornée, et établit l’égalité demandée.
(2) D’après (1), il est facile de voir que F est un sous-espace vectoriel et S (F) ⊆ F
pour tout S ∈ {A}
.
Exercice VI.10
(1) Nous avons T T
∗
= T
∗ T . Cela entraîne T
∗ x = T x ∀x ∈ H. En effet,
T
∗ x
2
= T
∗ x, T
∗ x = T T
∗ x, x = T
∗ T x, x = T x, T x = T x
2
.
Puisque T − λI est normal et que (T − λI)
∗
= T
∗
− λI, on en déduit aussitôt
H λ
de f
= ker(T − λI) = ker(T
∗
− λI).
Si donc x ∈ H λ et y ∈ H
⊥
λ , nous avons
T y, x = y, T
∗ x = y, λx = λy, x = 0,
autrement dit T y ∈ H
⊥
λ et H
⊥
λ est stable par T . Selon (D 6.10), H λ est orthogonalement
réduisant pour T .
(2) (i) H somme directe d’espaces propres.
Dans un espace de dimension finie, la propriété essentielle d’un opérateur est d’admettre
une valeur propre.
Selon les résultats de (1), utilisons toutes les valeurs propres de T . Soient {(λ i , H i )
i = 1, . . . , p} les couples (valeur propre, espace propre).
D’après (1), ils sont orthogonaux deux à deux. Soit G la somme directe orthogonale
G = ⊕
⊥ (H i , i = 1, . . . , p) ; d’après (1), G
⊥ est invariant par T ainsi que par T
∗ . On peut
alors affirmer que la restriction de T à G
⊥ est un opérateur normal, donc admet une
valeur propre qui serait aussi valeur propre de T . Ceci est contraire à la donnée des λ i .
On a donc G = H.
(ii) Étude d’un sous-espace invariant « minimum ».
En adoptant l’écriture H = ⊕
⊥ (H i , i = 1, . . . , p) (on peut se reporter aux notations
de (2) (i)) et en notant x = (x 1 , . . . , x p ), x i ∈ H i un vecteur arbitraire de H, on a
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Exercice VI.9
(1) Il est clair que F ⊆ {x ∈ H ; (A
n x) n est bornée}.
Montrons l’autre inclusion. Soit x F : alors il existe a > 1 et m ∈ N
∗ tels que
A
m x > ax. Par suite,
a
2
x
2
< A
m x
2
≤ ≤(A
m )
∗ A
m x x = A
2m x x.
D’où, par récurrence, l’inégalité : pour tout n ≥ 1, A
2
n m x > a
2
n x.
Ceci montre que que la suite (A
n x) n n’est pas bornée, et établit l’égalité demandée.
(2) D’après (1), il est facile de voir que F est un sous-espace vectoriel et S (F) ⊆ F
pour tout S ∈ {A}
.
Exercice VI.10
(1) Nous avons T T
∗
= T
∗ T . Cela entraîne T
∗ x = T x ∀x ∈ H. En effet,
T
∗ x
2
= T
∗ x, T
∗ x = T T
∗ x, x = T
∗ T x, x = T x, T x = T x
2
.
Puisque T − λI est normal et que (T − λI)
∗
= T
∗
− λI, on en déduit aussitôt
H λ
de f
= ker(T − λI) = ker(T
∗
− λI).
Si donc x ∈ H λ et y ∈ H
⊥
λ , nous avons
T y, x = y, T
∗ x = y, λx = λy, x = 0,
autrement dit T y ∈ H
⊥
λ et H
⊥
λ est stable par T . Selon (D 6.10), H λ est orthogonalement
réduisant pour T .
(2) (i) H somme directe d’espaces propres.
Dans un espace de dimension finie, la propriété essentielle d’un opérateur est d’admettre
une valeur propre.
Selon les résultats de (1), utilisons toutes les valeurs propres de T . Soient {(λ i , H i )
i = 1, . . . , p} les couples (valeur propre, espace propre).
D’après (1), ils sont orthogonaux deux à deux. Soit G la somme directe orthogonale
G = ⊕
⊥ (H i , i = 1, . . . , p) ; d’après (1), G
⊥ est invariant par T ainsi que par T
∗ . On peut
alors affirmer que la restriction de T à G
⊥ est un opérateur normal, donc admet une
valeur propre qui serait aussi valeur propre de T . Ceci est contraire à la donnée des λ i .
On a donc G = H.
(ii) Étude d’un sous-espace invariant « minimum ».
En adoptant l’écriture H = ⊕
⊥ (H i , i = 1, . . . , p) (on peut se reporter aux notations
de (2) (i)) et en notant x = (x 1 , . . . , x p ), x i ∈ H i un vecteur arbitraire de H, on a
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