Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
(2) Soit V 0 : Im(|T |) → Im(T ) définie par
V 0 (|T |x) = T x pour tout x ∈ H.
Montrer que V 0 est bien définie et qu’on peut l’étendre en une isométrie
V : ker(T )
⊥
→ Im(T ).
(3) « Décomposition polaire ». Montrer que T = W|T |, avec W une isométrie partielle.
(4) « Unicité de la décomposition polaire ». Montrer que si T = UP avec P ≥ 0 et
U isométrie partielle avec ker(U) = ker(P), alors P = |T | et U = W.
(5) « Décomposition polaire maximale ». Montrer que T = W|T |, avec W une isométrie ou co-isométrie (W est dite co-isométrie si W
∗ est une isométrie).
Exercice VI.14 : Densité des semi-inversibles
Soit H un espace de Hilbert séparable, complexe et T ∈ L(H).
(1) (a) Montrer que T est injectif à image fermée si et seulement si il existe S ∈ L(H)
tel que S T = I.
(b) Montrer que T est surjectif si et seulement si il existe S ∈ L(H) tel que T S = I.
(2) Montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles à droite ou à gauche est dense
dans L(H).
(On pourra utiliser la décomposition polaire maximale).
(3) Montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles est dense dans L(H) si et seulement si dim H est finie.
Exercice VI.15 : Points extrémaux
Soit H un espace de Hilbert complexe, B = {x ; x ≤ 1} sa boule unité fermée, qui est
convexe, S = {x ; x = 1} ⊂ B sa sphère unité.
(1) Montrer que si x ∈ S et x = ty + (1 − t)z avec t ∈]0, 1[ et x, y ∈ B, alors x = y = z.
(Dans ce cas, on dit que la boule unité de H est strictement convexe, ce qui revient
à dire que l’ensemble des points extrémaux, ou extrêmes, de B est égal à S . Cf. aussi
Ex. IX.1 du Chap. IX et D 9.4).
On se propose maintenant de trouver les points extrémaux de la boule unité B de
L(H).
(2) Soit A ∈ L(H), auto-adjoint. Montrer que si A ≤ 1, alors il existe un opérateur
U unitaire (cf. D 6.4) tel que
A =
1
2
(U + U
∗ ).
(On pourra considérer l’opérateur U = A + i
√
I − A 2 .)
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(2) Soit V 0 : Im(|T |) → Im(T ) définie par
V 0 (|T |x) = T x pour tout x ∈ H.
Montrer que V 0 est bien définie et qu’on peut l’étendre en une isométrie
V : ker(T )
⊥
→ Im(T ).
(3) « Décomposition polaire ». Montrer que T = W|T |, avec W une isométrie partielle.
(4) « Unicité de la décomposition polaire ». Montrer que si T = UP avec P ≥ 0 et
U isométrie partielle avec ker(U) = ker(P), alors P = |T | et U = W.
(5) « Décomposition polaire maximale ». Montrer que T = W|T |, avec W une isométrie ou co-isométrie (W est dite co-isométrie si W
∗ est une isométrie).
Exercice VI.14 : Densité des semi-inversibles
Soit H un espace de Hilbert séparable, complexe et T ∈ L(H).
(1) (a) Montrer que T est injectif à image fermée si et seulement si il existe S ∈ L(H)
tel que S T = I.
(b) Montrer que T est surjectif si et seulement si il existe S ∈ L(H) tel que T S = I.
(2) Montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles à droite ou à gauche est dense
dans L(H).
(On pourra utiliser la décomposition polaire maximale).
(3) Montrer que l’ensemble des opérateurs inversibles est dense dans L(H) si et seulement si dim H est finie.
Exercice VI.15 : Points extrémaux
Soit H un espace de Hilbert complexe, B = {x ; x ≤ 1} sa boule unité fermée, qui est
convexe, S = {x ; x = 1} ⊂ B sa sphère unité.
(1) Montrer que si x ∈ S et x = ty + (1 − t)z avec t ∈]0, 1[ et x, y ∈ B, alors x = y = z.
(Dans ce cas, on dit que la boule unité de H est strictement convexe, ce qui revient
à dire que l’ensemble des points extrémaux, ou extrêmes, de B est égal à S . Cf. aussi
Ex. IX.1 du Chap. IX et D 9.4).
On se propose maintenant de trouver les points extrémaux de la boule unité B de
L(H).
(2) Soit A ∈ L(H), auto-adjoint. Montrer que si A ≤ 1, alors il existe un opérateur
U unitaire (cf. D 6.4) tel que
A =
1
2
(U + U
∗ ).
(On pourra considérer l’opérateur U = A + i
√
I − A 2 .)
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