1. Énoncés
(ii) Soit x = (x 1 , . . . , x p ), avec x i ∈ H i , un vecteur arbitraire de H. Montrer que
chaque vecteur (0, 0, . . . , x j , 0, . . . , 0), j = 1, . . . , p, est dans tout sous-espace
invariant par T contenant x.
(iii) En déduire que tout sous-espace invariant par T est orthogonalement réduisant
pour T (ou encore est aussi invariant par T
∗ ).
(3) Montrer à l’aide d’un exemple que, si H n’est pas de dimension finie, il peut exister
des sous-espaces invariants non orthogonalement réduisants. On pourra utiliser l’espace
2 (Z) formé des suites u = (. . . , u n , . . . , u 0 , . . .) ; n ∈ Z, muni de la base orthonormée
(e p ) p∈Z , dont seul le terme de rang p est non nul et vaut 1, et l’opérateur (shift bilatéral)
S qui transforme e p en e p+1 .
Exercice VI.11 : Isométries partielles
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H). On dira que T est une isométrie
partielle si, ∀x ∈ Ker(T )
⊥
, T x = x.
(1) Montrer que si T est une isométrie partielle, alors l’image de T est fermée.
(2) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes (cf. D 6.5) :
(a) T est une isométrie partielle ;
(b) T T
∗ T = T ;
(c) T T
∗ est une projection orthogonale ;
(d) T
∗ T est une projection orthogonale.
Exercice VI.12
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H). On dira que T admet un inverse
généralisé s’il existe S ∈ L(H) tel que T S T = T et S T S = S .
Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
(a) T est une isométrie partielle ;
(b) T est une contraction et admet un inverse généralisé qui est une contraction.
Exercice VI.13 : Décomposition polaire
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H). On désignera par |T | = (T
∗ T )
1/2 la
racine carrée positive de l’opérateur positif T
∗ T (cf. D 6.8).
(1) (a) Montrer que pour tout x ∈ H,
T x = |T |x.
(VI.3)
(b) En déduire que (cf. D 5.6) :
ker(T )
⊥
= ker(|T |)
⊥
= Im(|T |).
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