Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Sans perte de généralité, on peut supposer que de plus T est une contraction, c’est-àdire T ≤ 1, ou encore 0 ≤ T ≤ I. On pose aussi S = I − T . Soit (A n ) n≥0 ∈ L(H) la
suite définie par
A 0 = 0, A n+1 =
1
2
(S + A
2
n ), n = 0, 1, . . .
(1) (i) Montrer que 0 ≤ S ≤ I.
(ii) Montrer que S
n
≥ 0 pour tout entier n ≥ 0.
(2) Montrer que les A n , ainsi que les A n − A n−1 , sont des polynômes en S à coefficients
positifs.
(3) Montrer que pour tout n ≥ 0, A n est positif et commute avec T .
(4) Montrer que pour tout n, A n ≤ I.
(5) Montrer que pour tout n, A n ≤ A n+1 .
(6) En déduire qu’il existe A ∈ L(H), 0 ≤ A ≤ I, vérifiant si on pose B = I − A ≥ 0 :
∀x ∈ H, A n x → Ax, et de plus 2A = S + A
2
, T A = AT et B
2
= T, BT = T B.
(7) Montrer que B est unique.
Exercice VI.9
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H) un opérateur normal. On définit
F = {x ∈ H ; A
n x ≤ ≤x, ∀n ≥ 0}.
(1) Montrer que l’on a aussi
F = {x ∈ H ; (A
n x) n≥0 est bornée}.
(2) En déduire que F est un sous-espace vectoriel qui vérifie (cf. D 4.9) :
∀S ∈ {A}
, S (F) ⊆ F.
Exercice VI.10 : Sous-espaces réduisants
H est un espace de Hilbert complexe, et T ∈ L(H) un opérateur normal.
(1) Montrer que tout espace propre de T est orthogonalement réduisant pour T
(cf. D 6.10).
(2) On suppose que H est de dimension finie.
(i) Soient {(λ i , H i , i = 1, . . . , p)} les couples (valeur propre, espace propre) de T .
Montrer que H = ⊕
⊥ (H i , i = 1, . . . , p).
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