1. Énoncés
(i) Montrer que
∀x, y ∈ H, ||Bx, y|
2
≤ ≤Bx, x By, y.
(VI.1)
(ii) En déduire que
∀x ∈ H, Bx
2
≤ ≤Bx, x B.
(VI.2)
(iii) Soit C = BI − B. Montrer qu’il existe une suite normée (y n ) n∈N ∗ telle que
lim n→∞ Cy n = 0 et que 0 ∈ σ(C) (D 10.4).
(2) Soit A ∈ L(H) auto-adjoint. On note
a = inf{{Ax, x ; x = 1} et b = sup{{Ax, x ; x = 1}.
(i) Montrer que a et b sont dans le spectre de A.
(ii) Établir l’inclusion
σ(A) ⊆ [a, b].
(3) Soit A, B ∈ L(H) deux opérateurs positifs (D 6.6).
Soit la suite d’opérateurs définie par
A 1 = A
−1 A, A n+1 = A n − A
2
n , n = 1, 2, . . .
(a) Montrer par récurrence que 0 ≤ A n ≤ I.
(b) Montrer que si AB = BA, alors AB est positif.
Exercice VI.7 : Suites croissantes majorées
Soit H un espace de Hilbert complexe et A, B ∈ L(H) auto-adjoints. On dira que A ≤ B
si B − A ≥ 0.
Soit (A n ) n≥1 ⊆ L(H) une suite d’opérateurs auto-adjoints et B ∈ L(H) auto-adjoint.
Supposons que 0 ≤ A 1 ≤ A 2 ≤ . . . ≤ B.
(1) Montrer que pour tout x ∈ H et n, m ∈ N
∗ , on a :
∀x ∈ H, A n x − A m x
2
≤ ||A n x, x − −A m x, x| |B.
(2) En déduire qu’il existe un opérateur auto-adjoint A ∈ L(H) tel que A ≤ B et pour
tout x ∈ H, lim n A n x = Ax.
(3) Montrer par un exemple que la convergence dans (2) peut ne pas être uniforme.
Exercice VI.8
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H) positif. Le but de l’exercice est de
démontrer que T admet une racine carrée positive unique (c’est-à-dire, B
2
= T et
B ≥ 0).
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