Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
(1) Montrer que si x 0, alors x est un vecteur propre de T si et seulement si
||T x, x| = T x x.
(2) En déduire que T admet une valeur propre μ avec |μ| = T si et seulement si
∃ x ∈ H tel que x = 1 et ||T x, x| = T .
(3) Soit (α n ) n∈N ∗ une suite numérique. Montrer que
si [∀n ≥ 1, α n ≥ 0, et
n≥1 α
2
n = 1] alors on a
n≥1 α n α n+1 < 1. (On pourra par
exemple utiliser (2) avec H =
2 et T donnée par T (x 1 , x 2 , . . .) = (x 2 , x 3 , . . .).)
Exercice VI.4
Soit H = L
2 [0, 1] et T : H → H définie par
T f (x) =
x
0
(x − t) f (t)dt.
(1) Montrer que T < 1 et que pour n ≥ 1,
T
n f (x) =
x
0
(x − t)
2n−1
(2n − 1)!
f (t)dt.
(2) Résoudre l’équation intégrale, avec g ∈ H donnée et f ∈ H l’inconnue :
f (x) = g(x) +
x
0
(x − t) f (t)dt.
Exercice VI.5 : Rayon numérique
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H). Soit
W(T ) =
||T x, y|
xy
; 0 x ≤ 1, 0 y ≤ 1
.
(1) Montrer que
T = sup W(T ).
(2) Pour T ∈ L(H), notons (rayon numérique de T ) :
w(T ) = sup{||T x, x| ; x = 1}.
(a) Montrer que
1
2 T ≤ w(T ) ≤ ≤T .
(b) Montrer que w(T
2 ) ≤ w(T )
2
.
(c) Supposons que T est normal. Montrer que T = w(T ).
Exercice VI.6
Soit H un espace de Hilbert complexe.
(1) Soit B ∈ L(H) un élément positif (cf. D 6.6).
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