OPÉRATEURS
CONTINUS ENTRE
ESPACES DE HILBERT
VI
1 ÉNONCÉS
Exercice VI.1
Soit H un espace de Hilbert complexe et A ∈ L(H).
(1) Montrer que ∀x, y ∈ H, on a la « formule de polarisation » (cf. P 5.3) :
Ax, y =
1
4
[A(x + y), x + y − −A(x − y), x − y + iA(x + iy), x + iy − iA(x − iy), x − iy].
(2) En déduire que si ∀x ∈ H, Ax, x = 0, alors A = 0.
(3) Montrer que Ax, x ∈ R ∀x ∈ H si et seulement si A = A
∗ .
(4) Soit A ∈ L(H) tel que A = A
∗ , montrer que σ(A)) ⊆ R (cf. P 6.9).
(5) Montrer que si ∀x ∈ H, Ax, x ≥ 0, alors σ(A)) ⊆ R
+ (cf. P 6.10).
Exercice VI.2
Soit H un espace de Hilbert complexe et A ∈ L(H).
(1) Montrer que A = T + iS avec T, S auto-adjoints si et seulement si T =
1
2 (A + A
∗ )
et S =
1
2i (A − A
∗ ) (D 6.2).
(2) Montrer que A est normal si et seulement si T S = S T (D 6.3).
(3) Supposons A normal. Montrer que A est inversible si et seulement si T
2
+ S
2 est
inversible. On justifiera l’égalité A
−1
= A
∗ (T
2
+ S
2 )
−1 .
Exercice VI.3
Soit H un espace de Hilbert complexe et T ∈ L(H).
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