Chapitre V • Espace de Hilbert
(iv) D’après la décomposition orthogonale obtenue dans l’Ex. V.10 pour une
contraction, on a le premier résultat. Ensuite, on procède par récurrence sur r à partir
de (1). Par exemple, si r = 2, on a puisque A 1 et A 2 sont des contractions :
T x = x =⇒ ⇒A 1 A 2 x = x =⇒ ⇒A 2 x = x =⇒ A 2 x = x
=⇒ ⇒A 1 x = x =⇒ A 1 x = x,
ce qui donne l’égalité voulue N =
r
j=1 ker(A j − I).
(4) Les P j sont des contractions positives, on peut donc leur appliquer ce qui précède.
Et ker(P j − I) = E j , donc ici N =
r
j=1 E j . On voit donc que T
n converge en topologie
forte vers P N , la projection orthogonale sur l’intersection des E j . Un dessin dans le plan,
quand r = 2, E 1 , E 2 sont deux droites sécantes en 0, et N = {0}, donne une idée claire de
la situation.
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