2. Solutions
Exercice V.13
(1) Par développement des deux membres, l’inégalité à démontrer équivaut à
Ax
2
≤ ≤Ax, x ∀x ∈ H.
Or, puisque A est une contraction positive (0 ≤ A ≤ I), cette inégalité n’est autre que
l’inégalité (VI.2) de l’Ex. VI.6.
(2) (i) On écrit y = x − A 1 . . . A r x comme somme télescopique :
y = (x − A r x) +
r−1
k=1
(A r−k+1 . . . A r x − A r−k . . . A r x)
d’où par l’inégalité triangulaire, l’inégalité de Cauchy-Schwarz, la question (1) pour les
contractions positives A r−k et un nouveau télescopage :
y
2
≤
x − A r x +
r−1
k=1
(A r−k+1 . . . A r x − A r−k . . . A r x
2
≤ r
x − A r x
2
+
r−1
k=1
(A r−k+1 . . . A r x − A r−k . . . A r x
2
≤ r
x
2
− −A r x
2
+
r−1
k=1
((A r−k+1 . . . A r x
2
− −A r−k . . . A r x
2 )
= r(x
2
− −A 1 . . . A r x
2 ) = r(x
2
− −T x
2 ).
Ensuite, si x n ≤ C et si x n − −T x n → 0, on a d’après (V.7) :
x n − T x n
2
≤ r(x n
2
− −T x n
2 ) = r(x n − −T x n )(x n + T x n )
≤ 2rC(x n − −T x n ),
ce qui donne (V.8).
(ii) C’est évident : si x ∈ N, on a T
n x = x = Px pour tout entier n ≥ 0.
(iii) Si x = a − T a ∈ Im(I − T ), on a T
n x = T
n a − T
n+1 a
de f
= x n − T x n . Mais,
puisque T est une contraction comme produit de contractions, la suite (x n ) = (T
n a)
est décroissante, donc converge vers une limite l, si bien que
x n − −T x n = x n − −x n+1 → l − l = 0.
La relation (V.8) implique alors que T
n x = x n − T x n → 0 = Px, comme on l’a vu dans
l’Ex. V.10. Comme il est clair que {x ; T
n x → 0} est fermé si T ≤ 1, cette relation vaut
encore pour x dans l’adhérence de Im(I − T ).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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