Chapitre V • Espace de Hilbert
on est dans les cas d’égalité de la relation de Parseval et donc f est dans l’adhérence
de Vect(e n ), ces derniers formant clairement une suite orthonormée. D’où le résultat
demandé.
(ii) C’est évident sur l’expression de la norme, puisque z ∈ Ω =⇒ a < |z| < b ce
qui donne
T f
2
=
Ω
|z f (z)|
2 dλ(z) ≤ b
2
Ω
| f (z)|
2 dλ(z) = b
2
f
2
et de même T f
2
≥ a
2
f
2 . Il est également évident que T est inversible et que
T
−1 f (z) =
1
z f (z).
(iii) On a QT = T Q = Q
3 . On procède ensuite par récurrence sur n. La relation
Q(u n ) = ϕu n est vraie par définition de ϕ pour n = 0. Si elle est vraie pour n, utilisant le
fait que T (u n ) = u n+1 par définition de T (qui n’est rien d’autre qu’un shift pondéré), et
la commutation, nous obtenons
Q(u n+1 ) = Q(T (u n )) = T (Q(u n )) = T (ϕu n ) = uϕu n = ϕu n+1 ,
d’où la relation demandée pour les indices positifs, et on fait de même un récurrence
descendante pour les entiers négatifs, en utilisant la commutation de Q avec T
−1 . Par
linéarité, on a Q( f ) = ϕ f lorsque f ∈ V, l’espace vectoriel engendré par les u n . Soit
ensuite f ∈ H quelconque, et f j =
|n|≤ j f, e n e n ∈ V. On sait que, quand j → ∞, f j
converge vers f dans H, et aussi uniformément sur tout compact de Ω (en abrégé dans
H(Ω)), et l’on a Q( f j ) = ϕ f j . Le premier membre converge vers Q( f ) dans H puisque
Q ∈ L(H). A fortiori, il converge vers Q( f ) dans H(Ω) et de même, le second membre
converge vers ϕ f dans H(Ω). Par unicité de la limite dans H(Ω), on obtient
Q( f ) = ϕ f ∀ f ∈ H puis Q
2 ( f ) = ϕ
2 f = T f = u f, ∀ f ∈ H.
Prenant f = 1 dans cette identité, nous obtenons ϕ
2
= u. Mais si une telle racine carrée
holomorphe ϕ de u existait sur Ω, en dérivant nous aurions
1
2iπ
1
z
= 2
1
2iπ
ϕ
(z)
ϕ(z)
∀z ∈ Ω
et en intégrant les deux membres de cette relation sur le cercle {|z| = r} avec a < r < b,
nous obtiendrions
1 = 2
|z|=r
1
2iπ
ϕ
(z)
ϕ(z)
dz = 2p
avec p entier, d’après les propriétés de l’indice. Ce qui est évidemment absurde ! Nous
renvoyons au dernier chapitre (chapitre 10) pour une étude approfondie des éléments
inversibles d’une algèbre de Banach, en particulier de la C
-algèbre L(H).
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on est dans les cas d’égalité de la relation de Parseval et donc f est dans l’adhérence
de Vect(e n ), ces derniers formant clairement une suite orthonormée. D’où le résultat
demandé.
(ii) C’est évident sur l’expression de la norme, puisque z ∈ Ω =⇒ a < |z| < b ce
qui donne
T f
2
=
Ω
|z f (z)|
2 dλ(z) ≤ b
2
Ω
| f (z)|
2 dλ(z) = b
2
f
2
et de même T f
2
≥ a
2
f
2 . Il est également évident que T est inversible et que
T
−1 f (z) =
1
z f (z).
(iii) On a QT = T Q = Q
3 . On procède ensuite par récurrence sur n. La relation
Q(u n ) = ϕu n est vraie par définition de ϕ pour n = 0. Si elle est vraie pour n, utilisant le
fait que T (u n ) = u n+1 par définition de T (qui n’est rien d’autre qu’un shift pondéré), et
la commutation, nous obtenons
Q(u n+1 ) = Q(T (u n )) = T (Q(u n )) = T (ϕu n ) = uϕu n = ϕu n+1 ,
d’où la relation demandée pour les indices positifs, et on fait de même un récurrence
descendante pour les entiers négatifs, en utilisant la commutation de Q avec T
−1 . Par
linéarité, on a Q( f ) = ϕ f lorsque f ∈ V, l’espace vectoriel engendré par les u n . Soit
ensuite f ∈ H quelconque, et f j =
|n|≤ j f, e n e n ∈ V. On sait que, quand j → ∞, f j
converge vers f dans H, et aussi uniformément sur tout compact de Ω (en abrégé dans
H(Ω)), et l’on a Q( f j ) = ϕ f j . Le premier membre converge vers Q( f ) dans H puisque
Q ∈ L(H). A fortiori, il converge vers Q( f ) dans H(Ω) et de même, le second membre
converge vers ϕ f dans H(Ω). Par unicité de la limite dans H(Ω), on obtient
Q( f ) = ϕ f ∀ f ∈ H puis Q
2 ( f ) = ϕ
2 f = T f = u f, ∀ f ∈ H.
Prenant f = 1 dans cette identité, nous obtenons ϕ
2
= u. Mais si une telle racine carrée
holomorphe ϕ de u existait sur Ω, en dérivant nous aurions
1
2iπ
1
z
= 2
1
2iπ
ϕ
(z)
ϕ(z)
∀z ∈ Ω
et en intégrant les deux membres de cette relation sur le cercle {|z| = r} avec a < r < b,
nous obtiendrions
1 = 2
|z|=r
1
2iπ
ϕ
(z)
ϕ(z)
dz = 2p
avec p entier, d’après les propriétés de l’indice. Ce qui est évidemment absurde ! Nous
renvoyons au dernier chapitre (chapitre 10) pour une étude approfondie des éléments
inversibles d’une algèbre de Banach, en particulier de la C
-algèbre L(H).
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