2. Solutions
Exercice V.12
(1) N, prototype de bloc de Jordan, vérifie de façon évidente (regarder l’image des
vecteurs de base)
N
d−1
0 et N
d
= 0.
Supposons N = Q
2 , alors Q a toutes ses valeurs propres nulles, donc il vérifie Q
d
= 0
par le théorème de Cayley-Hamilton. Distinguons deux cas :
1. d = 2p est pair. Alors, N
p
= Q
2p
= Q
d
= 0, ce qui contredit N
d−1
0.
2. d = 2p + 1 est impair. Alors, N
p+1
= Q
2p+2
= Q
d+1
= 0, alors que
p + 1 < 2p + 1 = d car d ≥ 2. On a de nouveau une contradiction.
(2) Écrivons T = D + N. Si T est inversible, D aussi, car il a les mêmes valeurs
propres que T , et l’on peut écrire
T = D(I + M) avec M = D
−1 N nilpotent et MD = DM.
Soit maintenant (u j ) une base de diagonalisation de D : D(u j ) = λ j u j . Soit μ j des
complexes tels que λ j = e
μ j et Δ ∈ L(C
d ) défini par Δ(u j ) = μ j u j pour 1 ≤ j ≤ n.
Δ = P 1 (D) est un polynôme en D et e
Δ
= D. Si maintenant
log(1 + x) =
∞
k=1
(−1)
k−1
k
x
k de f
=
∞
k=1
c k x
k
(V.17)
est le développement en série du logarithme népérien au voisinage de 1, on pose
R =
∞
k=1
c k M
k
.
(V.18)
Cette formule a un sens, car vu la nilpotence de M la série dans (V.18) est un polynôme
en M : R = P 2 (M). De plus, on a e
R
= I + M d’après (V.17). Posons L = Δ+ R et Q = e
L
2 ,
nous avons en utilisant la commutation de D et M :
RΔ = P 2 (M)P 1 (D) = P 1 (D)P 2 (M) = ΔR.
Il en résulte que e
L
= e
Δ e
R
= D(I + M) = T . Et a fortiori Q
2
= e
L
= T .
(3) (i) On raisonne comme dans l’Ex. V.8 : si f ∈ H, f a un développement de Laurent
f (z) =
n∈Z c n z
n dans la couronne Ω. Quand on calcule
f
2
=
Ω
| f (z)|
2 dλ(z)
en coordonnées polaires en utilisant la relation de Parseval du cercle, on obtient
f
2
=
n∈Z
|c n |
2
u n
2
=
n∈Z
|| f, e n |
2
,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Exercice V.12
(1) N, prototype de bloc de Jordan, vérifie de façon évidente (regarder l’image des
vecteurs de base)
N
d−1
0 et N
d
= 0.
Supposons N = Q
2 , alors Q a toutes ses valeurs propres nulles, donc il vérifie Q
d
= 0
par le théorème de Cayley-Hamilton. Distinguons deux cas :
1. d = 2p est pair. Alors, N
p
= Q
2p
= Q
d
= 0, ce qui contredit N
d−1
0.
2. d = 2p + 1 est impair. Alors, N
p+1
= Q
2p+2
= Q
d+1
= 0, alors que
p + 1 < 2p + 1 = d car d ≥ 2. On a de nouveau une contradiction.
(2) Écrivons T = D + N. Si T est inversible, D aussi, car il a les mêmes valeurs
propres que T , et l’on peut écrire
T = D(I + M) avec M = D
−1 N nilpotent et MD = DM.
Soit maintenant (u j ) une base de diagonalisation de D : D(u j ) = λ j u j . Soit μ j des
complexes tels que λ j = e
μ j et Δ ∈ L(C
d ) défini par Δ(u j ) = μ j u j pour 1 ≤ j ≤ n.
Δ = P 1 (D) est un polynôme en D et e
Δ
= D. Si maintenant
log(1 + x) =
∞
k=1
(−1)
k−1
k
x
k de f
=
∞
k=1
c k x
k
(V.17)
est le développement en série du logarithme népérien au voisinage de 1, on pose
R =
∞
k=1
c k M
k
.
(V.18)
Cette formule a un sens, car vu la nilpotence de M la série dans (V.18) est un polynôme
en M : R = P 2 (M). De plus, on a e
R
= I + M d’après (V.17). Posons L = Δ+ R et Q = e
L
2 ,
nous avons en utilisant la commutation de D et M :
RΔ = P 2 (M)P 1 (D) = P 1 (D)P 2 (M) = ΔR.
Il en résulte que e
L
= e
Δ e
R
= D(I + M) = T . Et a fortiori Q
2
= e
L
= T .
(3) (i) On raisonne comme dans l’Ex. V.8 : si f ∈ H, f a un développement de Laurent
f (z) =
n∈Z c n z
n dans la couronne Ω. Quand on calcule
f
2
=
Ω
| f (z)|
2 dλ(z)
en coordonnées polaires en utilisant la relation de Parseval du cercle, on obtient
f
2
=
n∈Z
|c n |
2
u n
2
=
n∈Z
|| f, e n |
2
,
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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