Chapitre V • Espace de Hilbert
Exercice V.11
(1) Si T = PUP
−1 , on a T
n
= PU
n P
−1 pour tout n ∈ Z, d’où
T
n
≤ ≤P U
n
P
−1
= P P
−1
= C.
(2) (i) pour x, y ∈ H et n ∈ Z, posons g x,y (n) = T
n x, T
n
y. Nous avons
|g x,y (n)| ≤ ≤T
n x T
n
y ≤ C
2
x y, donc g x,y ∈ F =
∞ (Z).
Posons alors
(x | y) = M(g x,y ).
Il est clair que ( | ) est un produit scalaire sur H, car g x,y dépend linéairement de x,
antilinéairement de y, M est linéaire et de plus, via la positivité de M :
g x,x (n) = T
n x
2
≥ C
−2
x
2
, d’où M(g x,x ) ≥ C
−2
x
2 et [x] ≥ C
−1
x
ainsi que, de la même façon, [x] ≤ Cx.
La norme [ ] sur H est préhilbertienne et équivalente à la norme hilbertienne . Cette
nouvelle norme est donc elle-même hilbertienne sur H.
(ii) Par définition, nous avons, avec les notations de l’Ex. III.2 :
[T x]
2
= M(g (T x,T x) ) = M(T 1 (g x,x )) = M(g x,x ) = [x]
2
,
où nous avons utilisé de façon cruciale l’invariance de M par la translation T 1 .
(iii) Les espaces de Hilbert H et K sont isomorphes. Par suite, ils ont la même
dimension hilbertienne, ce qui veut dire qu’on peut trouver un ensemble d’indices I et
des bases hilbertiennes (e i ) i∈I , ( f i ) i∈I de H et K respectivement, indexées par ce même
ensemble d’indices I. Il n’y a plus qu’à définir
P
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
i∈I
x i e i
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
i∈I
x i f i si
i∈I
|x i |
2
< ∞
pour obtenir l’isométrie surjective cherchée P : H → K.
(iv) On remarque d’abord que U est une bijection linéaire de H sur lui-même,
comme composée de trois bijections linéaires. Ensuite, on a d’après les questions précédentes :
U x = P
−1 T Px = [T Px] = [Px] = x,
ce qui montre que U : H → H est une isométrie. Comme on sait déjà que U est surjective, U : H → H est unitaire et T = PUP
−1 , CQFD.
♦
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Exercice V.11
(1) Si T = PUP
−1 , on a T
n
= PU
n P
−1 pour tout n ∈ Z, d’où
T
n
≤ ≤P U
n
P
−1
= P P
−1
= C.
(2) (i) pour x, y ∈ H et n ∈ Z, posons g x,y (n) = T
n x, T
n
y. Nous avons
|g x,y (n)| ≤ ≤T
n x T
n
y ≤ C
2
x y, donc g x,y ∈ F =
∞ (Z).
Posons alors
(x | y) = M(g x,y ).
Il est clair que ( | ) est un produit scalaire sur H, car g x,y dépend linéairement de x,
antilinéairement de y, M est linéaire et de plus, via la positivité de M :
g x,x (n) = T
n x
2
≥ C
−2
x
2
, d’où M(g x,x ) ≥ C
−2
x
2 et [x] ≥ C
−1
x
ainsi que, de la même façon, [x] ≤ Cx.
La norme [ ] sur H est préhilbertienne et équivalente à la norme hilbertienne . Cette
nouvelle norme est donc elle-même hilbertienne sur H.
(ii) Par définition, nous avons, avec les notations de l’Ex. III.2 :
[T x]
2
= M(g (T x,T x) ) = M(T 1 (g x,x )) = M(g x,x ) = [x]
2
,
où nous avons utilisé de façon cruciale l’invariance de M par la translation T 1 .
(iii) Les espaces de Hilbert H et K sont isomorphes. Par suite, ils ont la même
dimension hilbertienne, ce qui veut dire qu’on peut trouver un ensemble d’indices I et
des bases hilbertiennes (e i ) i∈I , ( f i ) i∈I de H et K respectivement, indexées par ce même
ensemble d’indices I. Il n’y a plus qu’à définir
P
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
i∈I
x i e i
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
i∈I
x i f i si
i∈I
|x i |
2
< ∞
pour obtenir l’isométrie surjective cherchée P : H → K.
(iv) On remarque d’abord que U est une bijection linéaire de H sur lui-même,
comme composée de trois bijections linéaires. Ensuite, on a d’après les questions précédentes :
U x = P
−1 T Px = [T Px] = [Px] = x,
ce qui montre que U : H → H est une isométrie. Comme on sait déjà que U est surjective, U : H → H est unitaire et T = PUP
−1 , CQFD.
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