2. Solutions
Exercice V.9
Dans l’égalité à étudier, l’intégrale s’interprète comme un produit scalaire.
Notons f x la fonction caractéristique de [a, x], et V l’espace vectoriel fermé engendré
par les (e n , n ∈ N
∗ ). Alors
x
a
e n (t)dt = e n , f x , et l’égalité proposée s’écrit :
Pour tout x ∈ [a, b],
+∞
n=1
||e n , f x |
2
= f x
2
.
Ceci exprime (comme on vient de le voir dans (V.15) de l’exercice précédent !)
que pour tout x ∈ [a, b], f x ∈ V. Alors, par différence, l’ensemble M des fonctions caractéristiques d’intervalles est dans V. On sait que l’adhérence de M dans H est identique
à H. Ainsi V = H. Et la réciproque (Parseval toujours vrai sur une base orthonormée)
est triviale.
Exercice V.10
(1) Supposons que T x = x. Si x = 0, alors T
∗ x = x ; si x 0,
T
∗ x, x = x, T x = x, x ≤ ≤T
∗ x x ≤ ≤x x = x, x ;
on est dans les cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et par (P 5.4), T
∗ x = cx
est colinéaire à x ; en reportant dans l’égalité précédente T
∗ x, x = x, x, on obtient
cx
2
= x
2 , d’où c = 1 et T
∗ x = x. Une variante consiste à développer T
∗ x − x
2 , ce
qui donne le calcul suivant :
T
∗ x − x
2
= T
∗ x
2
+ x
2
− 2T
∗ x, x = T
∗ x
2
+ x
2
− 2x, T x
= T
∗ x
2
+ x
2
− 2x
2
= T
∗ x
2
− −x
2
≤ 0,
en utilisant le fait que T
∗
= T ≤ 1. D’où T
∗ x − x = 0.
(2) Comme T
∗
= T ≤ 1 et T
∗∗
= T , en appliquant (1) à T
∗ , on obtient
T
∗ x = x =⇒ T
∗∗ x = x =⇒ T x = x,
ce qui joint à (1) donne le résultat.
(3) On a bien sûr ker(I − T
∗ ) = ker(I − T )
∗ , d’où ker(I − T ) = ker(I − T )
∗ . Alors, on
a d’après (P 4.3) :
H = ker(I − T )
∗
⊕
⊥ Im(I − T ) = ker(I − T ) ⊕
⊥ Im(I − T ).
Remarque : La décomposition de cet exercice donne une preuve du théorème ergodique en norme de von Neumann pour une contraction sur un espace de Hilbert, à savoir :
« Soit T ∈ L(H) une contraction (T ≤ 1), M n =
1
n (I + T + . . .+ T
n−1 ), et P la projection
orthogonale sur ker(I−T ). Alors, M N → P en SOT-topologie ». (Cf. D 9.11 et cf. Ex. V.13
pour une autre application).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
121
Exercice V.9
Dans l’égalité à étudier, l’intégrale s’interprète comme un produit scalaire.
Notons f x la fonction caractéristique de [a, x], et V l’espace vectoriel fermé engendré
par les (e n , n ∈ N
∗ ). Alors
x
a
e n (t)dt = e n , f x , et l’égalité proposée s’écrit :
Pour tout x ∈ [a, b],
+∞
n=1
||e n , f x |
2
= f x
2
.
Ceci exprime (comme on vient de le voir dans (V.15) de l’exercice précédent !)
que pour tout x ∈ [a, b], f x ∈ V. Alors, par différence, l’ensemble M des fonctions caractéristiques d’intervalles est dans V. On sait que l’adhérence de M dans H est identique
à H. Ainsi V = H. Et la réciproque (Parseval toujours vrai sur une base orthonormée)
est triviale.
Exercice V.10
(1) Supposons que T x = x. Si x = 0, alors T
∗ x = x ; si x 0,
T
∗ x, x = x, T x = x, x ≤ ≤T
∗ x x ≤ ≤x x = x, x ;
on est dans les cas d’égalité de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et par (P 5.4), T
∗ x = cx
est colinéaire à x ; en reportant dans l’égalité précédente T
∗ x, x = x, x, on obtient
cx
2
= x
2 , d’où c = 1 et T
∗ x = x. Une variante consiste à développer T
∗ x − x
2 , ce
qui donne le calcul suivant :
T
∗ x − x
2
= T
∗ x
2
+ x
2
− 2T
∗ x, x = T
∗ x
2
+ x
2
− 2x, T x
= T
∗ x
2
+ x
2
− 2x
2
= T
∗ x
2
− −x
2
≤ 0,
en utilisant le fait que T
∗
= T ≤ 1. D’où T
∗ x − x = 0.
(2) Comme T
∗
= T ≤ 1 et T
∗∗
= T , en appliquant (1) à T
∗ , on obtient
T
∗ x = x =⇒ T
∗∗ x = x =⇒ T x = x,
ce qui joint à (1) donne le résultat.
(3) On a bien sûr ker(I − T
∗ ) = ker(I − T )
∗ , d’où ker(I − T ) = ker(I − T )
∗ . Alors, on
a d’après (P 4.3) :
H = ker(I − T )
∗
⊕
⊥ Im(I − T ) = ker(I − T ) ⊕
⊥ Im(I − T ).
Remarque : La décomposition de cet exercice donne une preuve du théorème ergodique en norme de von Neumann pour une contraction sur un espace de Hilbert, à savoir :
« Soit T ∈ L(H) une contraction (T ≤ 1), M n =
1
n (I + T + . . .+ T
n−1 ), et P la projection
orthogonale sur ker(I−T ). Alors, M N → P en SOT-topologie ». (Cf. D 9.11 et cf. Ex. V.13
pour une autre application).
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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