1. Énoncés
(3) Soit V un point de la boule unité B de L(H). Montrer que les propriétés suivantes
sont équivalentes :
1. V est un point extrémal de B.
2. V est une isométrie ou une co-isométrie.
(4) On suppose dim H = ∞. Soit T ∈ B une isométrie non-surjective, U 1 , . . . , U n
unitaires, λ 1 , . . . , λ n positifs de somme 1. En utilisant l’Ex. V.6, montrer l’inégalité
T −
n
j=1
λ j U j ≥
2
n
.
Commenter.
Exercice VI.16 : Sommes d’opérateurs unitaires
Soit H un espace de Hilbert complexe.
(1) Soit T ∈ L(H) une contraction (c’est-à-dire T ≤ 1), et soit T = T 1 + iT 2 avec
T 1 = T
∗
1 et T 2 = T
∗
2 sa décomposition cartésienne (cf. Ex. VI.2).
(i) Montrer que T 1 , T 2 sont des contractions.
(ii) Montrer que A =
1
2 (T 1 −
I − T
2
2 ) est une contraction.
(2) Montrer que T est somme de trois opérateurs unitaires.
(On pourra montrer que l’opérateur U = A+i
√
I − A 2 est unitaire et trouver W unitaire
tel que T = U + U
∗
+ W).
Exercice VI.17 : Demi-sommes d’opérateurs unitaires
Soit H un espace de Hilbert complexe.
(1) Soit T, S ∈ L(H) avec S inversible.
Montrer que l’on a dim ker(T ) = dim ker(T S ).
(2) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. T est la moyenne arithmétique de deux opérateurs unitaires, c’est-à-dire :
T =
1
2
(V + W) avec V, W unitaires ;
2. T est une contraction et dim ker(T ) = dim ker(T
∗ ).
(3) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
1. T est la moyenne arithmétique de deux opérateurs unitaires qui commutent
(c’est-à-dire : T =
1
2 (V + W) avec V, W unitaires et VW = WV) ;
2. T est une contraction normale.
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