2. Solutions
(ii) e 2n+1 = n(e 2n +
1
n e 2n+1 ) − ne 2n , donc pour tout n, e n ∈ E + F ; le sous-espace
vectoriel E + F de H est donc dense dans H. Pour montrer qu’il est non fermé, il suffit
alors de prouver l’existence d’un vecteur x E + F. Soit pour cela x =
∞
n=1
1
n e 2n+1 .
L’écriture de x sous la forme x = y + z ∈ E + F imposerait
Pour tout n, y n = −z n et
1
n
=
1
n
z n , donc pour tout n, z n = 1.
Ceci contredit la propriété
∞
n=1 |z n |
2
< ∞, et donc x E + F.
Voici une solution alternative : si E + F est fermé, le théorème d’isomorphisme de
Banach (P 2.16), appliqué à l’opérateur somme T : E × F → E + F défini par
T (e, f ) = e + f montre l’existence d’une constante c > 0 telle que
e + f ≥ c max(e, f ), pour tous e ∈ E, f ∈ F.
En testant cette inégalité sur les vecteurs e = e 2n , f = −e 2n −
1
n e 2n+1 , on obtient
1
n ≥ c
pour tout n ∈ N
∗ , ce qui est absurde.
Exercice V.5
On note G = C([0, 1]), muni de ∞ . On note F ∞ pour F vu comme sous-espace normé
de G et F 2 pour F vu comme sous-espace normé de E.
(1) (i) F fermé dans E.
Soit l’application A : {G → E, f → f }. A est linéaire et continue puisque
f
2
2 =
1
0
| f (t)|
2 dt ≤ ≤ f
2
∞ .
L’espace vectoriel A(F) coïncide avec l’espace vectoriel F donc l’hypothèse exprime
que A(F) est fermé dans E. Alors F est fermé dans G, comme préimage d’un fermé par
une application continue.
(ii) Inégalités de normes.
Soit B la restriction de A à F, B : {F ∞ , → A(F ∞ ), f → f }, B est une application linéaire
continue. (1) montre sa continuité et la validité de
f 2 ≤ ≤ f ∞ pour f ∈ F.
Le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16) fournit l’autre inégalité, en effet, F ∞
et F 2 sont des espaces de Banach ; B est une application linéaire continue entre ces deux
espaces, son inverse est alors continue.
La continuité de l’inverse B
−1 se traduit par l’existence d’une constante α telle que :
Pour tout f ∈ F, f ≤ αB f , c’est-à-dire f ∞ ≤ α f 2 .
(V.10)
(2) La donnée est valable si la dimension de F est supérieure ou égale à n.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
115
(ii) e 2n+1 = n(e 2n +
1
n e 2n+1 ) − ne 2n , donc pour tout n, e n ∈ E + F ; le sous-espace
vectoriel E + F de H est donc dense dans H. Pour montrer qu’il est non fermé, il suffit
alors de prouver l’existence d’un vecteur x E + F. Soit pour cela x =
∞
n=1
1
n e 2n+1 .
L’écriture de x sous la forme x = y + z ∈ E + F imposerait
Pour tout n, y n = −z n et
1
n
=
1
n
z n , donc pour tout n, z n = 1.
Ceci contredit la propriété
∞
n=1 |z n |
2
< ∞, et donc x E + F.
Voici une solution alternative : si E + F est fermé, le théorème d’isomorphisme de
Banach (P 2.16), appliqué à l’opérateur somme T : E × F → E + F défini par
T (e, f ) = e + f montre l’existence d’une constante c > 0 telle que
e + f ≥ c max(e, f ), pour tous e ∈ E, f ∈ F.
En testant cette inégalité sur les vecteurs e = e 2n , f = −e 2n −
1
n e 2n+1 , on obtient
1
n ≥ c
pour tout n ∈ N
∗ , ce qui est absurde.
Exercice V.5
On note G = C([0, 1]), muni de ∞ . On note F ∞ pour F vu comme sous-espace normé
de G et F 2 pour F vu comme sous-espace normé de E.
(1) (i) F fermé dans E.
Soit l’application A : {G → E, f → f }. A est linéaire et continue puisque
f
2
2 =
1
0
| f (t)|
2 dt ≤ ≤ f
2
∞ .
L’espace vectoriel A(F) coïncide avec l’espace vectoriel F donc l’hypothèse exprime
que A(F) est fermé dans E. Alors F est fermé dans G, comme préimage d’un fermé par
une application continue.
(ii) Inégalités de normes.
Soit B la restriction de A à F, B : {F ∞ , → A(F ∞ ), f → f }, B est une application linéaire
continue. (1) montre sa continuité et la validité de
f 2 ≤ ≤ f ∞ pour f ∈ F.
Le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16) fournit l’autre inégalité, en effet, F ∞
et F 2 sont des espaces de Banach ; B est une application linéaire continue entre ces deux
espaces, son inverse est alors continue.
La continuité de l’inverse B
−1 se traduit par l’existence d’une constante α telle que :
Pour tout f ∈ F, f ≤ αB f , c’est-à-dire f ∞ ≤ α f 2 .
(V.10)
(2) La donnée est valable si la dimension de F est supérieure ou égale à n.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
115