Chapitre V • Espace de Hilbert
(i) (a) Égalité.
L’égalité (V.3) est l’identité de Parseval pour le vecteur λ 1 f 1 + . . . + λ n f n en utilisant la
base orthonormée ( f 1 , . . . , f n ) de Vect( f 1 , . . . , f n ) ; le carré de la norme est la somme des
carrés des composantes (P 5.11).
(b) Inégalité.
Pour f = λ 1 f 1 + . . . + λ n f n , on écrit la dernière inégalité de (V.2).
f ∞ = sup(|
n
j=1 λ j f j (t)| ; t ∈ [0, 1]), et f 2 est fourni par (V.3). L’inégalité (V.4) est
donc vraie.
(ii) Pour utiliser l’inégalité précédente de façon optimale, on choisit, pour tout
j = 1, . . . , n, λ j = f j (t). On obtient (V.5).
(iii) (a), (b) Inégalité et F de dimension finie.
(V.5) peut être récrite sous la forme
| f 1 (t)|
2
+ . . . + | f n (t)|
2
≤ α
2
, ∀t ∈ [0, 1].
(V.11)
Alors, en intégrant les deux membres de (V.11) sur [0, 1] et en tenant compte du fait que
chaque f j est normé dans E, on obtient
n ≤ α
2
, puis dim F ≤ α
2
.
(V.12)
Exercice V.6
(1) Le second membre de l’identité demandée vaut
A
−1 BB
−1
− A
−1 AB
−1
= A
−1
− B
−1
.
(2) Soit T n = A
−1
n . La suite (T n ) est de Cauchy dans L(H) car on a d’après la question
précédente :
T p − T q = T p (A q − A p )T q ≤ ≤T p A p − A q T q ≤ C
2
A p − A q .
Donc, T n → T , avec T ∈ L(H), et le passage à la limite dans la relation A n T n = T n A n = I
donne AT = T A = I, montrant que A ∈ G et que A
−1
= T .
(3) Soit (λ n ) une suite de points de F convergeant vers λ ∈ D. Il existe r > 0 tel que
inf n≥1 (1 − |λ n |) ≥ r. Soit alors A n = T − λ n I ; je dis que
A
−1
n ≤ C =
1
r
.
En effet, si x ∈ H, le caractère isométrique de T donne :
A n x = T x − λ n x ≥ ≥T x − |λ n | |x = (1 − |λ n |)|x ≥ rx,
116