Chapitre V • Espace de Hilbert
Exercice V.4
(1) (i) M et N fermés ⇒.
Comme M ⊕ N est inclus dans un espace de Hilbert, montrer qu’il est fermé équivaut à
montrer qu’il est complet.
Soit donc (x n = y n + z n , y n ∈ M, z n ∈ N) n∈N ∗ une suite de Cauchy de M ⊕ N.
M et N sont orthogonaux, donc d’après (P 5.1), on a
Pour tous p, n ∈ N
∗
, x n − x p
2
= y n − y p
2
+ z n − z p
2
.
(V.9)
Il en résulte que pour tous p, n ∈ N
∗
, y n −y p ≤ ≤x n − x p ainsi que z n −z p ≤ ≤x n − x p .
Ceci entraîne que les deux suites (y n ) n∈N ∗ et (z n ) n∈N ∗ sont de Cauchy dans M et N, donc
elles sont convergentes respectivement vers y ∈ M et z ∈ N.
Soit x = y + z, c’est un élément de M ⊕ N et, en faisant tendre p vers l’infini dans (V.9),
on obtient x − x n
2
= y − y n
2
+ z − z n
2 , donc x = lim n→∞ x n . M ⊕ N est complet dans
H donc fermé.
(ii) M ⊕ N fermé ⇒.
On considère une suite de Cauchy arbitraire (y n ) n∈N ∗ dans M ; on cherche à montrer
qu’elle est convergente dans M.
La suite (x n = y n + 0 = y n ) n∈N ∗ est convergente dans M ⊕ N donc convergente vers un
élément x = y + z. Par orthogonalité, on a :
x − x n
2
= y − y n
2
+ z
2 et lim n→∞ x − x n = 0. Il en résulte que
z = 0 et lim
n→∞
y − y n = 0.
Ceci montre que M est complet, et donc fermé. De même, N est fermé.
(2) Les sous-espaces E et F donnés dans H ne sont plus orthogonaux l’un à l’autre ;
on ne peut donc pas appliquer (1).
Écriture de E et F. Le système (e 2n , n ≥ 1) est orthonormé donc un élément y arbitraire
de E s’écrit
y =
∞
n=1
y n e 2n , y n ∈ C,
∞
n=1
|y n |
2
< ∞.
Le système (e 2n +
1
n
e 2n+1 , n ≥ 1) est orthogonal et e 2n +
1
n
e 2n+1
2
= 1 +
1
n 2 est majoré par
2 et minoré par 1, donc un élément z arbitraire de F s’écrit
z =
∞
n=1
z n
e 2n +
1
n
e 2n+1
, z n ∈ C,
∞
n=1
|z n |
2
< ∞.
(i) Soit x ∈ E ∩ F, c’est un y et un z selon l’écriture précédente ; comme le
système (e n , n ≥ 1) est une base orthonormée de H, on identifie y et z par l’égalité de
leurs composantes : pour tout n, y n = z n et 0 =
z n
n
.
Ceci montre que x = 0. On a E ∩ F = {0}.
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Exercice V.4
(1) (i) M et N fermés ⇒.
Comme M ⊕ N est inclus dans un espace de Hilbert, montrer qu’il est fermé équivaut à
montrer qu’il est complet.
Soit donc (x n = y n + z n , y n ∈ M, z n ∈ N) n∈N ∗ une suite de Cauchy de M ⊕ N.
M et N sont orthogonaux, donc d’après (P 5.1), on a
Pour tous p, n ∈ N
∗
, x n − x p
2
= y n − y p
2
+ z n − z p
2
.
(V.9)
Il en résulte que pour tous p, n ∈ N
∗
, y n −y p ≤ ≤x n − x p ainsi que z n −z p ≤ ≤x n − x p .
Ceci entraîne que les deux suites (y n ) n∈N ∗ et (z n ) n∈N ∗ sont de Cauchy dans M et N, donc
elles sont convergentes respectivement vers y ∈ M et z ∈ N.
Soit x = y + z, c’est un élément de M ⊕ N et, en faisant tendre p vers l’infini dans (V.9),
on obtient x − x n
2
= y − y n
2
+ z − z n
2 , donc x = lim n→∞ x n . M ⊕ N est complet dans
H donc fermé.
(ii) M ⊕ N fermé ⇒.
On considère une suite de Cauchy arbitraire (y n ) n∈N ∗ dans M ; on cherche à montrer
qu’elle est convergente dans M.
La suite (x n = y n + 0 = y n ) n∈N ∗ est convergente dans M ⊕ N donc convergente vers un
élément x = y + z. Par orthogonalité, on a :
x − x n
2
= y − y n
2
+ z
2 et lim n→∞ x − x n = 0. Il en résulte que
z = 0 et lim
n→∞
y − y n = 0.
Ceci montre que M est complet, et donc fermé. De même, N est fermé.
(2) Les sous-espaces E et F donnés dans H ne sont plus orthogonaux l’un à l’autre ;
on ne peut donc pas appliquer (1).
Écriture de E et F. Le système (e 2n , n ≥ 1) est orthonormé donc un élément y arbitraire
de E s’écrit
y =
∞
n=1
y n e 2n , y n ∈ C,
∞
n=1
|y n |
2
< ∞.
Le système (e 2n +
1
n
e 2n+1 , n ≥ 1) est orthogonal et e 2n +
1
n
e 2n+1
2
= 1 +
1
n 2 est majoré par
2 et minoré par 1, donc un élément z arbitraire de F s’écrit
z =
∞
n=1
z n
e 2n +
1
n
e 2n+1
, z n ∈ C,
∞
n=1
|z n |
2
< ∞.
(i) Soit x ∈ E ∩ F, c’est un y et un z selon l’écriture précédente ; comme le
système (e n , n ≥ 1) est une base orthonormée de H, on identifie y et z par l’égalité de
leurs composantes : pour tout n, y n = z n et 0 =
z n
n
.
Ceci montre que x = 0. On a E ∩ F = {0}.
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