1. Énoncés
(i) Montrer l’inégalité
x − T x
2
≤ r(x
2
− −T x
2 ) ∀x ∈ H,
et en déduire que, pour (x n ) une suite bornée de vecteurs de H, on a l’implication :
x n − −T x n → 0 =⇒ ⇒x n − T x n → 0.
(V.8)
(ii) Montrer que (V.7) a lieu si x ∈ N.
(iii) Montrer que (V.7) a lieu si x ∈ Im(I − T ), puis si x ∈ Im(I − T ).
(iv) Montrer que (V.7) a lieu en utilisant l’Ex. V.10, et que de plus
N =
r
j=1
ker(A j − I).
(3) Soit P 1 , . . . , P r des projections orthogonales (cf. D 5.8) sur des sous-espaces fermés E 1 , . . . , E r de H, et soit T = P 1 . . . P r . Montrer que T
n converge en topologie forte
d’opérateur (cf. D 9.11) vers une projection orthogonale que l’on déterminera.
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