Chapitre V • Espace de Hilbert
2 SOLUTIONS
Exercice V.1
(1) L’espace H 0 est le noyau de la forme linéaire A définie par la relation A f = f, f 0 ,
en notant f 0 la fonction définie par f 0 (t) = 1 pour tout t ∈ [0, 1]. L’inégalité de CauchySchwarz (P 5.4) entraîne
|A f | = || f, f 0 ≤ ≤ f 0 2 f 2 = f 2 .
Ceci, d’après (P 1.4), montre que A est continue sur H (de norme f 0 2 = 1). Son noyau
H 0 est alors un sous-espace fermé propre de H, puisque A = 1.
(2) (i) f 1 (1) =
1
2
donc f 1 H.
Pour toute f ∈ E, f = 2 f (1) f 1 + h, où h(1) = 0, donc h ∈ H.
Ceci exprime l’égalité
E = Vect(H, f 1 ).
Si de plus f ∈ E 0 , comme f 1 ∈ E 0 , la décomposition ci-dessus montre que
h ∈ H ∩ E 0 = H 0 , c’est-à-dire qu’on a
E 0 = Vect(H 0 , f 1 ).
(ii) Sur le graphe de f 1 nous ajoutons le graphe d’une fonction u n qui montre le
résultat.
y
1
1
1
t
10
-0,5
0,5
n
1
n
u n
f
f 1 , u n
u n coïncide avec f 1 dans l’intervalle [1/n, 1 − 1/n], est représentée par les pointillés en
dehors. On a u n (t) − f 1 (t) =
1−nt
2 si 0 ≤ t ≤
1
n , d’où l’on tire :
f 1 − u n 2 =
1
√
6n
≤
1
√
n
. Comme u n est dans H 0 , f 1 ∈ H 0 .
(3) Rappelons que, selon (D 5.6),
H
⊥
0 = {g ∈ H tels que pour toute f ∈ H 0 ,
1
0
f (t)g(t)dt = 0},
et H
⊥
0 est un sous-espace de H. Fixons g ∈ H
⊥
0 , et montrons que g = 0.
110