Chapitre V • Espace de Hilbert
Montrer, en pensant au théorème de Cayley-Hamilton, que N n’admet pas de racine
carrée.
(2) Soit toujours H = C
d avec d ≥ 2, et T ∈ L(H), inversible. En utilisant une
décomposition de Dunford
T = D + N avec D diagonalisable, N nilpotent et DN = ND,
montrer que cette fois T peut s’écrire T = Q
2 avec Q ∈ L(H). Ainsi, en dimension finie,
un opérateur inversible a une racine carrée. On va voir que ce résultat ne passe pas à la
dimension infinie.
(3) Soit 0 < a < b < ∞ et Ω = {z ∈ C ; a < |z| < b}, une couronne ouverte du plan
complexe. On considère l’espace de Bergman H = A
2 (Ω) (un espace de Hilbert, donc)
associé, comme dans l’Ex. V.8. On définit T ∈ L(H) par la relation
T f (z) = z f (z), ∀ f ∈ H, ∀z ∈ Ω.
(i) Soit u ∈ A
2 (Ω) définie par u(z) = z, puis pour n ∈ Z, u n = u
n et e n =
u n
u n .
Montrer que (e n ) n∈Z est une base orthonormée de H.
(ii) Montrer que T est un élément inversible de L(H) et qu’on a plus précisément
T ≤ b et T
−1
≤
1
a
.
(iii) On suppose que T = Q
2 , où Q ∈ L(H). Montrer que Q commute avec T et
que, si l’on pose ϕ = Q(u 0 ) ∈ H, on a
Q(u n ) = ϕu n ∀n ∈ Z, puis Q( f ) = ϕ f ∀ f ∈ H.
En conclure que ϕ
2 (z) = z ∀z ∈ Ω et aboutir à une contradiction. Ainsi, l’opérateur de Toeplitz inversible T n’a pas de racine carrée dans L(H).
Exercice V.13 : Théorème ergodique sans moyenne
Soit H un espace de Hilbert, A = L(H), A ∈ A une contraction :A ≤ 1.
(1) On suppose de plus A positive : Ax, x ≥ 0 ∀x. Montrer l’inégalité
x − Ax
2
≤ ≤x
2
− −Ax
2
∀x ∈ H.
(2) Soit T = A 1 . . . A r un produit de r contractions positives de A = L(H),
N = ker(I − T ) et P la projection orthogonale sur N. On se propose de montrer que
T
n
→ P en topologie forte d’opérateur, i.e.
lim
n→∞
T
n x − Px = 0 ∀x ∈ H.
(V.7)
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Montrer, en pensant au théorème de Cayley-Hamilton, que N n’admet pas de racine
carrée.
(2) Soit toujours H = C
d avec d ≥ 2, et T ∈ L(H), inversible. En utilisant une
décomposition de Dunford
T = D + N avec D diagonalisable, N nilpotent et DN = ND,
montrer que cette fois T peut s’écrire T = Q
2 avec Q ∈ L(H). Ainsi, en dimension finie,
un opérateur inversible a une racine carrée. On va voir que ce résultat ne passe pas à la
dimension infinie.
(3) Soit 0 < a < b < ∞ et Ω = {z ∈ C ; a < |z| < b}, une couronne ouverte du plan
complexe. On considère l’espace de Bergman H = A
2 (Ω) (un espace de Hilbert, donc)
associé, comme dans l’Ex. V.8. On définit T ∈ L(H) par la relation
T f (z) = z f (z), ∀ f ∈ H, ∀z ∈ Ω.
(i) Soit u ∈ A
2 (Ω) définie par u(z) = z, puis pour n ∈ Z, u n = u
n et e n =
u n
u n .
Montrer que (e n ) n∈Z est une base orthonormée de H.
(ii) Montrer que T est un élément inversible de L(H) et qu’on a plus précisément
T ≤ b et T
−1
≤
1
a
.
(iii) On suppose que T = Q
2 , où Q ∈ L(H). Montrer que Q commute avec T et
que, si l’on pose ϕ = Q(u 0 ) ∈ H, on a
Q(u n ) = ϕu n ∀n ∈ Z, puis Q( f ) = ϕ f ∀ f ∈ H.
En conclure que ϕ
2 (z) = z ∀z ∈ Ω et aboutir à une contradiction. Ainsi, l’opérateur de Toeplitz inversible T n’a pas de racine carrée dans L(H).
Exercice V.13 : Théorème ergodique sans moyenne
Soit H un espace de Hilbert, A = L(H), A ∈ A une contraction :A ≤ 1.
(1) On suppose de plus A positive : Ax, x ≥ 0 ∀x. Montrer l’inégalité
x − Ax
2
≤ ≤x
2
− −Ax
2
∀x ∈ H.
(2) Soit T = A 1 . . . A r un produit de r contractions positives de A = L(H),
N = ker(I − T ) et P la projection orthogonale sur N. On se propose de montrer que
T
n
→ P en topologie forte d’opérateur, i.e.
lim
n→∞
T
n x − Px = 0 ∀x ∈ H.
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