1. Énoncés
Exercice V.10 : Décomposition associée à une contraction
Soit H un espace de Hilbert complexe, et T ∈ L(H) tel que T ≤ 1.
(1) Montrer que si T x = x, alors T
∗ x = x.
(2) Montrer que ker(I − T ) = ker(I − T
∗ ).
(3) Montrer que H = ker(I − T ) ⊕
⊥ Im(I − T ).
Exercice V.11 : Théorème de similarité de Nagy
Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire , et T ∈ L(H) un opérateur inversible.
(1) On suppose que T est semblable à un opérateur unitaire, c’est-à-dire qu’il existe
un opérateur inversible P ∈ L(H) tel qu’on ait T = PUP
−1 , où U ∈ L(H) est unitaire.
Montrer l’inégalité
T
n
≤ C
de f
= P P
−1
, ∀n ∈ Z.
(2) On se propose de montrer la réciproque de (1). Soit donc T ∈ L(H) un opérateur
inversible tel que sup n∈Z T
n
= C < ∞. On va voir que T est semblable à un opérateur
unitaire.
(i) Soit M une moyenne de Banach sur F =
∞ (Z), comme dans l’Ex. III.2. Pour
x, y ∈ H, soit g x,y ∈ F définie par
g x,y (n) = T
n x, T
n
y et soit [x] =
M(g x,x )
1
2
.
Justifier le fait que g x,y ∈ F et montrer que [ ] est une norme hilbertienne sur
H. On note K l’espace H muni de cette nouvelle norme hilbertienne [ ].
(ii) Montrer que [T x] = [x] ∀x ∈ H.
(iii) Montrer qu’il existe un isomorphisme isométrique P : H → K, i.e.
[Px] = x ∀x ∈ H.
(iv) On considère l’opérateur U = P
−1 T P. Montrer que U ∈ L(H) est unitaire et
que T = PUP
−1 , ce qui est la conclusion souhaitée.
Exercice V.12 : Racine carrée d’un opérateur sur un Hilbert
On sait que tout nombre complexe a une racine carrée et qu’il y a une analogie profonde
entre les nombres complexes et la C
-algèbre L(H) des opérateurs bornés sur un Hilbert
H. On va étudier les limites de cette analogie.
(1) Soit H = C
d avec d ≥ 2 et N ∈ L(H) défini sur la base canonique de C
d par
N(e j ) = e j+1 si j < d et N(e d ) = 0.
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