Chapitre V • Espace de Hilbert
Exercice V.8 : Espace de Bergman
Soit Ω un ouvert du plan complexe C, et H Ω l’espace de Bergman de Ω, i.e.
H Ω = A
2 (Ω) = { f ∈ L
2 (Ω) telles que f est holomorphe dans Ω}.
Pour z ∈ Ω, on note δ z l’application {H Ω → C, f → δ z ( f ) = f (z)}.
(1) Montrer que si B(z, r) = {w ∈ C tels que |w − z| ≤ r} ⊆ Ω, alors
Pour toute f ∈ H Ω , f (z) =
1
πr 2
B(z,r)
f (w)dλ(w),
où dλ est la mesure de Lebesgue dans C = R
2 .
(2) En déduire que, d(z, Ω
c ) désignant la distance de z au complémentaire de Ω, on a :
Pour toute f ∈ H Ω , pour tout z ∈ Ω, d(z, Ω
c ) > r =⇒ | f (z)| ≤
1
r
√
π
f 2 .
(3) Montrer que H Ω muni du produit scalaire de L
2 (Ω) est un espace de Hilbert.
(4) Montrer que, pour tout z ∈ Ω, δ z est une forme linéaire continue sur H Ω . En
déduire qu’il existe K z ∈ H Ω telle que :
Pour toute f ∈ H Ω , f (z) =
Ω
f (w)K z (w)dλ(w).
(5) On note, pour tout (z, w) ∈ (Ω × Ω), K Ω (w, z) = K z (w).
(i) Montrer que K Ω (z, w) = K Ω (w, z).
(ii) Soit (e n , n ∈ N) une base orthonormale de H Ω ,
montrer que K z =
+∞
n=0 e n (z)e n dans H Ω .
(6) On choisit Ω = D = {z ∈ C ; |z| < 1}.
(i) Montrer que (e n , e n (z) =
n+1
π z
n
, n ∈ N) est une base orthonormale de H D .
(ii) Calculer explicitement K D .
Exercice V.9
H est l’espace de Hilbert L
2 ([a, b]), (e n , n ∈ N
∗ ) est un système orthonormal de H. Montrer que (e n , n ∈ N
∗ ) est une base orthonormale si et seulement si,
Pour tout x ∈ [a, b],
+∞
n=1
x
a
e n (t)dt
2 = x − a.
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