1. Énoncés
En utilisant (V.2), montrer que
Pour tout t ∈ [0, 1], |λ 1 f 1 (t) + . . . + λ n f n (t)| ≤ α(|λ 1 |
2
+ . . . + |λ n |
2 )
1/2
.
(V.4)
(ii) En choisissant convenablement {λ 1 , . . . , λ n }, en déduire que
t ∈ [0, 1] =⇒ | f 1 (t)|
2
+ . . . + | f n (t)|
2
≤ α(| f 1 (t)|
2
+ . . . + | f n (t)|
2 )
1/2
.
(V.5)
(iii) Conclure que n ≤ α
2 et que dim F ≤ α
2 .
Exercice V.6 : Spectre d’une isométrie
Soit H un Hilbert complexe, L(H) l’algèbre des opérateurs sur H, G le groupe des éléments inversibles de L(H), et enfin D = {z ∈ C ; |z| < 1}.
(1) Soit A, B ∈ G. Montrer la formule de réduction non-commutative au même dénominateur :
A
−1
− B
−1
= A
−1 (B − A)B
−1
.
(2) Soit (A n ) une suite de G et A ∈ L(H) tels que
A n − A → 0 et A
−1
n ≤ C.
Montrer que A ∈ G. Dans la suite, on suppose dimH = ∞.
(3) Soit T ∈ L(H) une isométrie non-surjective, E = σ(T ) ∩ D, F = D \ E. Montrer
que F est fermé dans D, puis que finalement
E = D et σ(T ) = D.
(4) Soit T comme dans (3) (cf. D 4.16) et λ ∈ C. Montrer que l’on a T − λI = 1 + |λ|
et plus généralement T − λU = 1 + |λ| si U est un opérateur unitaire (une isométrie
surjective) sur H.
Exercice V.7
(1) Soit H un espace de Hilbert, et x 1 , . . . , x N ∈ H. Montrer l’identité du parallélogramme généralisée :
1
2 N
ε 1 x 1 + . . . + ε N x N
2
=
N
n=1
x n
2
(V.6)
où la somme porte sur les 2
N choix possibles de signes ε n = ±1.
(2) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite de vecteurs de H bornée au sens des familles sommables,
c’est-à-dire :
Il existe C tel que
n∈A
x n ≤ C pour tout A ⊂ N
∗ de cardinal fini.
Montrer qu’on a
∞
n=1 x n
2
< ∞.
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En utilisant (V.2), montrer que
Pour tout t ∈ [0, 1], |λ 1 f 1 (t) + . . . + λ n f n (t)| ≤ α(|λ 1 |
2
+ . . . + |λ n |
2 )
1/2
.
(V.4)
(ii) En choisissant convenablement {λ 1 , . . . , λ n }, en déduire que
t ∈ [0, 1] =⇒ | f 1 (t)|
2
+ . . . + | f n (t)|
2
≤ α(| f 1 (t)|
2
+ . . . + | f n (t)|
2 )
1/2
.
(V.5)
(iii) Conclure que n ≤ α
2 et que dim F ≤ α
2 .
Exercice V.6 : Spectre d’une isométrie
Soit H un Hilbert complexe, L(H) l’algèbre des opérateurs sur H, G le groupe des éléments inversibles de L(H), et enfin D = {z ∈ C ; |z| < 1}.
(1) Soit A, B ∈ G. Montrer la formule de réduction non-commutative au même dénominateur :
A
−1
− B
−1
= A
−1 (B − A)B
−1
.
(2) Soit (A n ) une suite de G et A ∈ L(H) tels que
A n − A → 0 et A
−1
n ≤ C.
Montrer que A ∈ G. Dans la suite, on suppose dimH = ∞.
(3) Soit T ∈ L(H) une isométrie non-surjective, E = σ(T ) ∩ D, F = D \ E. Montrer
que F est fermé dans D, puis que finalement
E = D et σ(T ) = D.
(4) Soit T comme dans (3) (cf. D 4.16) et λ ∈ C. Montrer que l’on a T − λI = 1 + |λ|
et plus généralement T − λU = 1 + |λ| si U est un opérateur unitaire (une isométrie
surjective) sur H.
Exercice V.7
(1) Soit H un espace de Hilbert, et x 1 , . . . , x N ∈ H. Montrer l’identité du parallélogramme généralisée :
1
2 N
ε 1 x 1 + . . . + ε N x N
2
=
N
n=1
x n
2
(V.6)
où la somme porte sur les 2
N choix possibles de signes ε n = ±1.
(2) Soit (x n ) n∈N ∗ une suite de vecteurs de H bornée au sens des familles sommables,
c’est-à-dire :
Il existe C tel que
n∈A
x n ≤ C pour tout A ⊂ N
∗ de cardinal fini.
Montrer qu’on a
∞
n=1 x n
2
< ∞.
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