Chapitre V • Espace de Hilbert
Exercice V.3
(1) Soit H un espace de Hilbert et T : H → H une application linéaire. Montrer
que si pour tous x, y ∈ H, T x, y = x, T y, alors T est continue (utiliser le théorème du
graphe fermé P 2.17).
(2) Soit K = {P, polynôme sur C} muni du produit scalaire
P, Q =
1
0
P(t)Q(t)dt.
(V.1)
et H = {P ∈ K tels que P(0) = P(1) = 0}, sous-espace préhilbertien de K.
Soit T : H → K l’application linéaire définie par T (P) = iP
.
Montrer que T vérifie T (P), Q = P, T (Q) pour tous P, Q ∈ H, mais que T n’est
pas continue. Commenter la différence avec la question (1).
Exercice V.4
(1) Soient M et N deux sous-espaces orthogonaux d’un espace de Hilbert H. Montrer
que M ⊕ N est fermé si et seulement si M et N sont fermés.
(2) Soit H =
2 (cf. D 1.15), ainsi que
E l’adhérence dans H du sous-espace engendré par (e 2n , n ≥ 1), et
F l’adhérence dans H du sous-espace engendré par (e 2n +
1
n e 2n+1 , n ≥ 1)
où (e n , n ≥ 1) est la base canonique de H.
(i) Montrer que E ∩ F = {0}.
(ii) Montrer que E + F n’est pas fermé dans H.
Exercice V.5 : Théorème de Grothendieck
C([0, 1]) désigne l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues sur
[0, 1], muni de la norme f ∞ = sup{| f (t)| ; t ∈ [0, 1]}. C’est aussi un sous-espace préhilbertien du Hilbert L
2 ([0, 1]) (avec l’abus de langage habituel), dont la norme sera notée
2 et le produit scalaire f, g. Le but de l’exercice est de montrer, sous une forme
quantitative, qu’un sous-espace vectoriel F ⊆ C([0, 1]) qui est fermé dans L
2 ([0, 1]) = E
est nécessairement de dimension finie.
(1) Montrer que F est fermé dans C([0, 1]) muni de la norme ∞ . En utilisant le
théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16)), en déduire qu’il existe α > 0 tel que
Pour tout f ∈ F, f 2 ≤ ≤ f ∞ ≤ α f 2 .
(V.2)
(2) Soit n un entier, et { f 1 , . . . , f n } une suite orthonormale de F.
(i) Montrer que pour tous λ 1 , . . . , λ n ∈ C,
λ 1 f 1 + . . . + λ n f n
2
2 = |λ 1 |
2
+ . . . + |λ n |
2
.
(V.3)
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Exercice V.3
(1) Soit H un espace de Hilbert et T : H → H une application linéaire. Montrer
que si pour tous x, y ∈ H, T x, y = x, T y, alors T est continue (utiliser le théorème du
graphe fermé P 2.17).
(2) Soit K = {P, polynôme sur C} muni du produit scalaire
P, Q =
1
0
P(t)Q(t)dt.
(V.1)
et H = {P ∈ K tels que P(0) = P(1) = 0}, sous-espace préhilbertien de K.
Soit T : H → K l’application linéaire définie par T (P) = iP
.
Montrer que T vérifie T (P), Q = P, T (Q) pour tous P, Q ∈ H, mais que T n’est
pas continue. Commenter la différence avec la question (1).
Exercice V.4
(1) Soient M et N deux sous-espaces orthogonaux d’un espace de Hilbert H. Montrer
que M ⊕ N est fermé si et seulement si M et N sont fermés.
(2) Soit H =
2 (cf. D 1.15), ainsi que
E l’adhérence dans H du sous-espace engendré par (e 2n , n ≥ 1), et
F l’adhérence dans H du sous-espace engendré par (e 2n +
1
n e 2n+1 , n ≥ 1)
où (e n , n ≥ 1) est la base canonique de H.
(i) Montrer que E ∩ F = {0}.
(ii) Montrer que E + F n’est pas fermé dans H.
Exercice V.5 : Théorème de Grothendieck
C([0, 1]) désigne l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues sur
[0, 1], muni de la norme f ∞ = sup{| f (t)| ; t ∈ [0, 1]}. C’est aussi un sous-espace préhilbertien du Hilbert L
2 ([0, 1]) (avec l’abus de langage habituel), dont la norme sera notée
2 et le produit scalaire f, g. Le but de l’exercice est de montrer, sous une forme
quantitative, qu’un sous-espace vectoriel F ⊆ C([0, 1]) qui est fermé dans L
2 ([0, 1]) = E
est nécessairement de dimension finie.
(1) Montrer que F est fermé dans C([0, 1]) muni de la norme ∞ . En utilisant le
théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16)), en déduire qu’il existe α > 0 tel que
Pour tout f ∈ F, f 2 ≤ ≤ f ∞ ≤ α f 2 .
(V.2)
(2) Soit n un entier, et { f 1 , . . . , f n } une suite orthonormale de F.
(i) Montrer que pour tous λ 1 , . . . , λ n ∈ C,
λ 1 f 1 + . . . + λ n f n
2
2 = |λ 1 |
2
+ . . . + |λ n |
2
.
(V.3)
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