ESPACE DE HILBERT
V
1 ÉNONCÉS
Exercice V.1
Soit E l’espace préhilbertien des fonctions complexes continues sur [0, 1], muni du produit scalaire f, g =
1
0
f (t)g(t)dt et de la norme 2 associée, et E 0 le sous-espace de
E constitué des fonctions d’intégrale nulle sur [0, 1]. On considère maintenant le couple
d’espaces préhilbertiens suivant :
H = { f ∈ E ; f (1) = 0},
H 0 = E 0 ∩ H = { f ∈ E ; f (1) =
1
0
f (t)dt = 0}.
(1) Montrer que H 0 est un sous-espace vectoriel fermé propre de H.
(2) Soit f 1 ∈ E définie ainsi : pour tout t ∈ [0, 1], f 1 (t) = t −
1
2 .
(i) Montrer que E = Vect(H, f 1 ), et E 0 = Vect(H 0 , f 1 ).
(ii) Montrer que f 1 ∈ H 0 (adhérence dans E).
(3) H
⊥
0 désigne l’orthogonal de H 0 dans H (cf. D 5.6).
Montrer que H
⊥
0 = {0}.
(4) Expliquer le résultat de (3).
Exercice V.2
Soit E = C([a, b]), a < b, a, b ∈ R, espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes
continues sur [a, b], muni du produit scalaire induit par L
2 ([a, b]). Soit c ∈]a, b[ et
F c = { f ∈ E ; f | [a,c] = 0} ( f | [a,c] désigne la restriction à l’intervalle [a, c] de la fonction f ).
(1) Montrer que F c est un sous-espace fermé de E et déterminer F
⊥
c .
(2) Montrer que F c ⊕ F
⊥
c E .
(3) Expliquer.
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