Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
Exercice IV.12
(1) D’après les rappels, on a λ σ ap (T ) ⇐⇒ λ σ sur (T
∗ ).
Donc, σ ap (T ) = σ sur (T
∗ ) et de même σ ap (T
∗ ) = σ sur (T ).
(2) (a) Supposons au contraire (quitte à prendre une sous-suite) qu’il existe C > 0 tel
que pour tout n, (T − λ n I)
−1
≤ C, et soit n assez grand pour que |λ n − λ| <
1
C . Alors
(T − λI) − (T − λ n I = |λ − λ n | <
1
(T − λ n I) −1
.
Mais alors T − λI est inversible. Cette contradiction montre qu’on a bien
lim
n→∞
(T − λ n I)
−1
= ∞.
(b) Soit x n = 1 tel que α n = (T − λ n I)
−1 x n > (T − λ n I)
−1
−
1
n .
On a α n → ∞, et si on pose y n =
1
α n
(T − λ n I)
−1 x n , on voit que y n = 1 et que
(T − λI)y n = (T − λ n I)y n − (λ − λ n )y n =
1
α n
x n − (λ − λ n )y n .
D’où (T − λI)y n ≤
1
α n
+ |λ − λ n |. On a donc construit une suite normée (y n ), y n = 1
telle que (T − λI)y n → 0. Ceci montre que (T − λI) I(E), et ainsi λ ∈ σ ap (T ).
(c) est une conséquence immédiate de (a) et (b).
(d) Par connexité, un compact non-vide du plan complexe a au moins un
point-frontière, donc en appliquant la question (c) à T
∗ , on obtient l’existence d’un
λ ∈ ∂σ(T
∗ ) ⊂ σ ap (T
∗ ). Et d’après (a), on a aussi λ ∈ σ sur (T ), ce qui répond à la question.
On comparera avec profit ce résultat à celui de l’Ex. IV.5.
Exercice IV.13
Suppose que T ∈ σ(T ). Puisque σ(T ) ⊆ B(0, T ), T
de f
= M appartient à la frontière
du spectre de T . Par l’Ex. IV.12, T ∈ σ ap (T ), le spectre approximatif de T . Il existe
donc, par définition, une suite (x n ) n avec
x n = 1 et lim
n→∞
T x n − Mx n = 0.
On a alors
I + T ≥ ≥(I + T )x n = (x n + Mx n ) + (T x n − Mx n )
≥ ≥(1 + M)x n − −T x n − Mx n = 1 + M − −T x n − Mx n .
Par passage à la limite quand n → +∞, on obtient I + T ≥ 1 + M = 1 + T . L’autre
inégalité étant évidente, on a I + T = 1 + T .
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