Avant-propos
Quelques précisions sur l’ordre
Dans chaque chapitre d’exercices, les textes sont groupés au début.
Les relations munies d’un numéro : les numéros sont dans l’ordre de première apparition de la relation dans le chapitre (par exemple (II.1) désigne la première relation du
chapitre II) - cette relation est répétée au besoin à l’intérieur de l’exercice (énoncé ou
solution) pour une meilleure compréhension du lecteur.
Connaissances préalables
(1) La structure générale d’un espace métrique (voire topologique), les notions de suite
convergente ou de Cauchy, celles de sous-espace muni de la structure de l’espace.
(2) Le langage usuel des opérateurs linéaires entre espaces vectoriels, en particulier espaces de dimension finie (noyau, image, valeurs propres, espaces propres, opérateurs
auto-adjoints. . . ) éventuellement la forme de Jordan, admise ici, mais utilisée dans
l’exercice V.12.
Ordre des chapitres
Pour les exercices sur les opérateurs, nous avons choisi de parler d’abord des opérateurs linéaires entre espaces normés (ch. IV) et d’aborder ensuite le cas particulier des
opérateurs entre espaces de Hilbert (ch. VI).
Le cas plus général d’éléments dans une algèbre de Banach ou une C*-algèbre est abordé
au dernier chapitre (ch. X). Cependant les résultats qui y apparaissent sont souvent, dans
un cours assez bref d’analyse fonctionnelle, prouvés dans le cadre des opérateurs entre
espaces de Banach sans attirer l’attention sur leur généralité. Ils peuvent alors apparaître
deux fois pour le lecteur attentif (par exemple (P 6.6) et (P 10.10)).
Le lecteur ?
Celui qui se contente de « lire » l’ouvrage n’aura rien appris.
Un ouvrage d’exercices est fait pour vérifier les connaissances acquises et pour susciter
la réflexion, la recherche personnelle, pour mettre le lecteur dans l’état d’esprit de celui
qui, ayant acquis un certain bagage, cherche par lui-même à en savoir plus.
Bien sûr, un texte d’exercice posé de manière précise et directive peut enlever le mystère
qu’il y aurait à se poser personnellement une question dont on ignore la réponse.
Nous avons cependant cherché à organiser les textes pour que le « lecteur » puisse par
l’abord préalable de quelques cas particuliers (l’usage des opérateurs en dimension finie
est parfois fondamental) voir pourquoi la réponse peut calquer celle de la dimension finie
ou au contraire être différente.
Il est évident qu’une recherche d’exercice doit être faite sans avoir pris du tout connaissance de la solution. On doit faire un plan de résolution d’une question et non partir
au hasard. L’usage du corrigé ne doit être fait qu’après une recherche personnelle non
négligeable, en dernière instance, en quelque sorte.
X
Quelques précisions sur l’ordre
Dans chaque chapitre d’exercices, les textes sont groupés au début.
Les relations munies d’un numéro : les numéros sont dans l’ordre de première apparition de la relation dans le chapitre (par exemple (II.1) désigne la première relation du
chapitre II) - cette relation est répétée au besoin à l’intérieur de l’exercice (énoncé ou
solution) pour une meilleure compréhension du lecteur.
Connaissances préalables
(1) La structure générale d’un espace métrique (voire topologique), les notions de suite
convergente ou de Cauchy, celles de sous-espace muni de la structure de l’espace.
(2) Le langage usuel des opérateurs linéaires entre espaces vectoriels, en particulier espaces de dimension finie (noyau, image, valeurs propres, espaces propres, opérateurs
auto-adjoints. . . ) éventuellement la forme de Jordan, admise ici, mais utilisée dans
l’exercice V.12.
Ordre des chapitres
Pour les exercices sur les opérateurs, nous avons choisi de parler d’abord des opérateurs linéaires entre espaces normés (ch. IV) et d’aborder ensuite le cas particulier des
opérateurs entre espaces de Hilbert (ch. VI).
Le cas plus général d’éléments dans une algèbre de Banach ou une C*-algèbre est abordé
au dernier chapitre (ch. X). Cependant les résultats qui y apparaissent sont souvent, dans
un cours assez bref d’analyse fonctionnelle, prouvés dans le cadre des opérateurs entre
espaces de Banach sans attirer l’attention sur leur généralité. Ils peuvent alors apparaître
deux fois pour le lecteur attentif (par exemple (P 6.6) et (P 10.10)).
Le lecteur ?
Celui qui se contente de « lire » l’ouvrage n’aura rien appris.
Un ouvrage d’exercices est fait pour vérifier les connaissances acquises et pour susciter
la réflexion, la recherche personnelle, pour mettre le lecteur dans l’état d’esprit de celui
qui, ayant acquis un certain bagage, cherche par lui-même à en savoir plus.
Bien sûr, un texte d’exercice posé de manière précise et directive peut enlever le mystère
qu’il y aurait à se poser personnellement une question dont on ignore la réponse.
Nous avons cependant cherché à organiser les textes pour que le « lecteur » puisse par
l’abord préalable de quelques cas particuliers (l’usage des opérateurs en dimension finie
est parfois fondamental) voir pourquoi la réponse peut calquer celle de la dimension finie
ou au contraire être différente.
Il est évident qu’une recherche d’exercice doit être faite sans avoir pris du tout connaissance de la solution. On doit faire un plan de résolution d’une question et non partir
au hasard. L’usage du corrigé ne doit être fait qu’après une recherche personnelle non
négligeable, en dernière instance, en quelque sorte.
X