2. Solutions
si bien que y = T x avec x ≤
C
1−r , ce qui prouve (IV.13) sachant (IV.11). Tournonsnous maintenant vers l’équivalence (IV.2). Nous ne pouvons pas raisonner par dualité,
car les espaces E, F n’ont aucune raison d’être réflexifs, c’est-à-dire de coïncider avec
leurs biduaux.
(a) Supposons que T ∈ I(E, F) et soit T 0 = T : E → Im(T ). Alors T 0 est bijectif
entre espaces de Banach, et donc inversible.
Soit maintenant x
∗
∈ E
∗ . La forme linéaire y → →x
∗
, T
−1
0 y est continue sur Im(T ),
et par le théorème de Hahn-Banach P 3.4, elle se prolonge en y
∗
∈ F
∗ telle que
y
∗
, y = x
∗
, T
−1
0 y∀y ∈ Im(T ). En particulier, avec y = T x :
x ∈ E =⇒ ⇒T
∗
y
∗
, x = y
∗
, T x = x
∗
, T
−1
0 T x = x
∗
, x.
L’élément x ∈ E étant arbitraire, on en déduit x
∗
= T
∗
y
∗ , et comme x
∗
∈ E
∗ est quelconque, on a bien montré que T
∗ est surjectif : T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ).
(b) Supposons ensuite que T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ). Par le théorème l’application ouverte, il
existe C > 0 tel que B E ∗ ⊆ CT
∗ (B F ∗ ). On pose α =
1
C .
Soit x ∈ E, alors en utilisant deux fois le théorème de Hahn-Banach P 3.4, dans E et
dans F, nous avons :
T x = sup
y ∗ ∈B F ∗
||y
∗
, T x| = sup
y ∗ ∈B F ∗
||T
∗
y
∗
, x| = sup
z ∗ ∈T ∗ B F ∗
||z
∗
, x|
≥
1
C
sup
x ∗ ∈B E ∗
||x
∗
, x| = αx.
D’où T x ≥ αx, et T ∈ I(E, F) par la question (1). L’équivalence (IV.2) est établie.
(4) Cette question sera également traitée dans l’Ex. IV.10, voici une solution alternative : soit
Φ : L(E, F) → L(F
∗
, E
∗ ), φ(T ) = T
∗
.
L’application Φ est continue, car c’est une isométrie. D’autre part, les équivalences de la
question (3) permettent d’écrire :
S (E, F) = Φ
−1
I(F
∗
, E
∗ )
.
(IV.16)
Mais I(F
∗
, E
∗ ) est ouvert d’après la question (2), donc (IV.16) montre que S (E, F) est
ouvert, comme image inverse d’un ouvert par une application continue.
Exercice IV.10
(1) (a) ⇒ (b).
Supposons que G = Im(T ) est fermé. Puisque F est un espace de Banach, G en est aussi
un. Soit T : E → G définie par x → T x. Alors T est surjective entre espaces de Banach,
et nous pouvons invoquer le théorème de l’application ouverte P 2.15, qui nous fournit
un δ > 0 tel que δB Im(T ) ⊆ T (B E ), ce qui implique B Im(T ) ⊆
1
δ T (B E ). On prend C =
1
δ .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
99
si bien que y = T x avec x ≤
C
1−r , ce qui prouve (IV.13) sachant (IV.11). Tournonsnous maintenant vers l’équivalence (IV.2). Nous ne pouvons pas raisonner par dualité,
car les espaces E, F n’ont aucune raison d’être réflexifs, c’est-à-dire de coïncider avec
leurs biduaux.
(a) Supposons que T ∈ I(E, F) et soit T 0 = T : E → Im(T ). Alors T 0 est bijectif
entre espaces de Banach, et donc inversible.
Soit maintenant x
∗
∈ E
∗ . La forme linéaire y → →x
∗
, T
−1
0 y est continue sur Im(T ),
et par le théorème de Hahn-Banach P 3.4, elle se prolonge en y
∗
∈ F
∗ telle que
y
∗
, y = x
∗
, T
−1
0 y∀y ∈ Im(T ). En particulier, avec y = T x :
x ∈ E =⇒ ⇒T
∗
y
∗
, x = y
∗
, T x = x
∗
, T
−1
0 T x = x
∗
, x.
L’élément x ∈ E étant arbitraire, on en déduit x
∗
= T
∗
y
∗ , et comme x
∗
∈ E
∗ est quelconque, on a bien montré que T
∗ est surjectif : T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ).
(b) Supposons ensuite que T
∗
∈ S (F
∗
, E
∗ ). Par le théorème l’application ouverte, il
existe C > 0 tel que B E ∗ ⊆ CT
∗ (B F ∗ ). On pose α =
1
C .
Soit x ∈ E, alors en utilisant deux fois le théorème de Hahn-Banach P 3.4, dans E et
dans F, nous avons :
T x = sup
y ∗ ∈B F ∗
||y
∗
, T x| = sup
y ∗ ∈B F ∗
||T
∗
y
∗
, x| = sup
z ∗ ∈T ∗ B F ∗
||z
∗
, x|
≥
1
C
sup
x ∗ ∈B E ∗
||x
∗
, x| = αx.
D’où T x ≥ αx, et T ∈ I(E, F) par la question (1). L’équivalence (IV.2) est établie.
(4) Cette question sera également traitée dans l’Ex. IV.10, voici une solution alternative : soit
Φ : L(E, F) → L(F
∗
, E
∗ ), φ(T ) = T
∗
.
L’application Φ est continue, car c’est une isométrie. D’autre part, les équivalences de la
question (3) permettent d’écrire :
S (E, F) = Φ
−1
I(F
∗
, E
∗ )
.
(IV.16)
Mais I(F
∗
, E
∗ ) est ouvert d’après la question (2), donc (IV.16) montre que S (E, F) est
ouvert, comme image inverse d’un ouvert par une application continue.
Exercice IV.10
(1) (a) ⇒ (b).
Supposons que G = Im(T ) est fermé. Puisque F est un espace de Banach, G en est aussi
un. Soit T : E → G définie par x → T x. Alors T est surjective entre espaces de Banach,
et nous pouvons invoquer le théorème de l’application ouverte P 2.15, qui nous fournit
un δ > 0 tel que δB Im(T ) ⊆ T (B E ), ce qui implique B Im(T ) ⊆
1
δ T (B E ). On prend C =
1
δ .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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